Theorem plycjOLD 26262

Description: Obsolete version of plycj 26260 as of 22-Sep-2025. The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycjOLD.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjOLD.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjOLD.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycjOLD.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycjOLD	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycjOLD

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycjOLD.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plycjOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3		plycjOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
5	2, 3, 4	plycjlem 26259	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
7		plybss 26177	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9		0cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10	9	snssd 4718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
11	8, 10	unssd 4121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12		dgrcl 26216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	2, 13	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	4	coef 26213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
17		elfznn0 13565	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		fvco3 6927	. . . . . 6 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
19	16, 17, 18	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
20		ffvelcdm 7022	. . . . . . 7 ⊢ (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
21	16, 17, 20	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
22		plycjOLD.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
23	22	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
24		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
25	24	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
26	25	rspccv 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
28		elsni 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
29	28	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
30		cj0 15111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘0) = 0
31	29, 30	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
32		fvex 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
33	32	elsn 4570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
34	31, 33	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
36	27, 35	orim12d 972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
37		elun 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
38		elun 4083	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
39	36, 37, 38	3imtr4g 297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42	19, 41	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
43	11, 14, 42	elplyd 26185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
44	6, 43	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
45		plyun0 26180	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
46	44, 45	eleqtrdi 2849	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  ∗ccj 15049  Σcsu 15639  Polycply 26167  coeffccoe 26169  degcdgr 26170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-0p 25655  df-ply 26171  df-coe 26173  df-dgr 26174

This theorem is referenced by:  coecjOLD  26263