MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycjOLD 26309
Description: Obsolete version of plycj 26307 as of 22-Sep-2025. The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
plycjOLD.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjOLD.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjOLD.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycjOLD.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
plycjOLD (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycjOLD
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycjOLD.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plycjOLD.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 plycjOLD.2 . . . . 5 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4 eqid 2736 . . . . 5 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
52, 3, 4plycjlem 26306 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 plybss 26223 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
9 0cnd 11250 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
109snssd 4807 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
118, 10unssd 4191 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12 dgrcl 26262 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
142, 13eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
154coef 26259 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
17 elfznn0 13656 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 fvco3 7006 . . . . . 6 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
20 ffvelcdm 7099 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2116, 17, 20syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
22 plycjOLD.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 3145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
24 fveq2 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
2524eleq1d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2625rspccv 3618 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
28 elsni 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
2928fveq2d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
30 cj0 15193 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘0) = 0
3129, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
32 fvex 6917 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
3332elsn 4639 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
3431, 33sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3627, 35orim12d 967 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
37 elun 4152 . . . . . . . 8 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
38 elun 4152 . . . . . . . 8 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3936, 37, 383imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4121, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4219, 41eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4311, 14, 42elplyd 26231 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
446, 43eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
45 plyun0 26226 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4644, 45eleqtrdi 2850 1 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3060  cun 3948  wss 3950  {csn 4624  cmpt 5223  ccom 5687  wf 6555  cfv 6559  (class class class)co 7429  cc 11149  0cc0 11151   · cmul 11156  0cn0 12522  ...cfz 13543  cexp 14098  ccj 15131  Σcsu 15718  Polycply 26213  coeffccoe 26215  degcdgr 26216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25695  df-ply 26217  df-coe 26219  df-dgr 26220
This theorem is referenced by:  coecjOLD  26310
  Copyright terms: Public domain W3C validator