Theorem phoeqi 30377

Description: A condition implying that two operators are equal. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2eqi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
phoeqi	⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem phoeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 3284	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)))
2		ffvelcdm 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑆‘𝑦) ∈ 𝑋)
3		ffvelcdm 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑋)
4		ip2eqi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip2eqi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6		ip2eqi.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
7	4, 5, 6	ip2eqi 30376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
8	2, 3, 7	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝑇:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
9	8	anandirs 675	. . . 4 ⊢ (((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
10	9	ralbidva 3173	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
11		ffn 6716	. . . 4 ⊢ (𝑆:𝑌⟶𝑋 → 𝑆 Fn 𝑌)
12		ffn 6716	. . . 4 ⊢ (𝑇:𝑌⟶𝑋 → 𝑇 Fn 𝑌)
13		eqfnfv 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝑌 ∧ 𝑇 Fn 𝑌) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
14	11, 12, 13	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑆‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)))
15	10, 14	bitr4d 281	. 2 ⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
16	1, 15	bitrid 282	1 ⊢ ((𝑆:𝑌⟶𝑋 ∧ 𝑇:𝑌⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑥𝑃(𝑆‘𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  BaseSetcba 30106  ·_𝑖OLDcdip 30220  CPreHil_OLDccphlo 30332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ph 30333

This theorem is referenced by:  ajmoi  30378