Theorem hhssablo 28834

Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hhssablo	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp)

Proof of Theorem hhssablo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 5417	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × 𝐻))
2		xpeq2 5424	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) → (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ)))
3	1, 2	eqtrd 2807	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) → (𝐻 × 𝐻) = (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ)))
4	3	reseq2d 5692	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ))))
5	4	eleq1d 2843	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) → (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp ↔ ( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ))) ∈ AbelOp))
6		helsh 28816	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
7	6	elimel 4411	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Sℋ
8	7	hhssabloi 28833	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ) × if(𝐻 ∈ Sℋ , 𝐻, ℋ))) ∈ AbelOp
9	5, 8	dedth 4400	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ifcif 4344   × cxp 5401   ↾ cres 5405  AbelOpcablo 28113   ℋchba 28490   +_ℎ cva 28491   S_ℋ csh 28499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hvcom 28572  ax-hvass 28573  ax-hv0cl 28574  ax-hvaddid 28575  ax-hfvmul 28576  ax-hvmulid 28577  ax-hvmulass 28578  ax-hvdistr1 28579  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581  ax-hfi 28650  ax-his1 28653  ax-his2 28654  ax-his3 28655  ax-his4 28656

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-nmcv 28169  df-hnorm 28539  df-hba 28540  df-hvsub 28542  df-hlim 28543  df-sh 28778  df-ch 28792

This theorem is referenced by: (None)