Theorem hilxmet 31562

Description: The Hilbert space norm determines a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hilmet.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Assertion

Ref	Expression
hilxmet	⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)

Proof of Theorem hilxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilmet.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
2	1	hilmet 31561	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
3		metxmet 24506	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ ℋ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∘ ccom 5668  ‘cfv 6540  ∞Metcxmet 21522  Metcmet 21523   ℋchba 31286  norm_ℎcno 31290   −_ℎ cmv 31292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 31366  ax-hfvadd 31367  ax-hvcom 31368  ax-hvass 31369  ax-hv0cl 31370  ax-hvaddid 31371  ax-hfvmul 31372  ax-hvmulid 31373  ax-hvmulass 31374  ax-hvdistr1 31375  ax-hvdistr2 31376  ax-hvmul0 31377  ax-hfi 31446  ax-his1 31449  ax-his2 31450  ax-his3 31451  ax-his4 31452

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-xadd 13148  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-xmet 21530  df-met 21531  df-grpo 30860  df-gid 30861  df-ginv 30862  df-gdiv 30863  df-ablo 30912  df-vc 30926  df-nv 30959  df-va 30962  df-ba 30963  df-sm 30964  df-0v 30965  df-vs 30966  df-nmcv 30967  df-ims 30968  df-hnorm 31335  df-hvsub 31338

This theorem is used by:  hhsscms  31645  occllem  31670  hhcno  32271  hhcnf  32272  hmopidmchi  32518