MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem2 20966
Description: Lemma for zringlpir 20970. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Revised by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
zringlpirlem.n0 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  {0})
zringlpirlem.g 𝐺 = inf((𝐼 ∩ β„•), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem zringlpirlem2
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.g . 2 𝐺 = inf((𝐼 ∩ β„•), ℝ, < )
2 inss2 4225 . . . . 5 (𝐼 ∩ β„•) βŠ† β„•
3 nnuz 12847 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
42, 3sseqtri 4014 . . . 4 (𝐼 ∩ β„•) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 zringlpirlem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
6 zringlpirlem.n0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  {0})
75, 6zringlpirlem1 20965 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∩ β„•) β‰  βˆ…)
8 infssuzcl 12898 . . . 4 (((𝐼 ∩ β„•) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝐼 ∩ β„•) β‰  βˆ…) β†’ inf((𝐼 ∩ β„•), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ β„•))
94, 7, 8sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ inf((𝐼 ∩ β„•), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ β„•))
109elin1d 4194 . 2 (πœ‘ β†’ inf((𝐼 ∩ β„•), ℝ, < ) ∈ 𝐼)
111, 10eqeltrid 2836 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {csn 4622  β€˜cfv 6532  infcinf 9418  β„cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   < clt 11230  β„•cn 12194  β„€β‰₯cuz 12804  LIdealclidl 20732  β„€ringczring 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cmn 19614  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-cnfld 20879  df-zring 20952
This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  20967  zringlpir  20970
  Copyright terms: Public domain W3C validator