Theorem zringlpirlem2 20152

Description: Lemma for zringlpir 20156. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Revised by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem zringlpirlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
2		inss1 4026	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ 𝐼
3		inss2 4027	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
4		nnuz 11963	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3831	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
6		zringlpirlem.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		zringlpirlem.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
8	6, 7	zringlpirlem1 20151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
9		infssuzcl 12013	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
10	5, 8, 9	sylancr 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
11	2, 10	sseldi 3794	. 2 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝐼)
12	1, 11	syl5eqel 2880	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969   ∩ cin 3766   ⊆ wss 3767  ∅c0 4113  {csn 4366  ‘cfv 6099  infcinf 8587  ℝcr 10221  0cc0 10222  1c1 10223   < clt 10361  ℕcn 11310  ℤ_≥cuz 11926  LIdealclidl 19490  ℤ_ringzring 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cmn 18507  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-lidl 19494  df-cnfld 20066  df-zring 20138

This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  20153  zringlpir  20156