Theorem zringlpirlem2 21449

Description: Lemma for zringlpir 21453. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Revised by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem zringlpirlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
2		inss2 4228	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
3		nnuz 12911	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 4015	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		zringlpirlem.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
6		zringlpirlem.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
7	5, 6	zringlpirlem1 21448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
8		infssuzcl 12962	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
9	4, 7, 8	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
10	9	elin1d 4196	. 2 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝐼)
11	1, 10	eqeltrid 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322  {csn 4623  ‘cfv 6546  infcinf 9477  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   < clt 11289  ℕcn 12258  ℤ_≥cuz 12868  LIdealclidl 21191  ℤ_ringczring 21432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-lidl 21193  df-cnfld 21340  df-zring 21433

This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  21450  zringlpir  21453