Theorem zringlpirlem2 21422

Description: Lemma for zringlpir 21426. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Revised by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem zringlpirlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
2		inss2 4213	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
3		nnuz 12893	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 4007	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		zringlpirlem.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
6		zringlpirlem.n0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
7	5, 6	zringlpirlem1 21421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
8		infssuzcl 12946	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
9	4, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
10	9	elin1d 4179	. 2 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝐼)
11	1, 10	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ‘cfv 6530  infcinf 9451  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11267  ℕcn 12238  ℤ_≥cuz 12850  LIdealclidl 21165  ℤ_ringczring 21405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  21423  zringlpir  21426