Theorem mat1dimid 21531

Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dimid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8788	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	mat1 21504	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		fvex 6769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
12		fvex 6769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	11, 12	ifex 4506	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
16		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝑦))
17	16	ifbid 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		eqeq2 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝐸 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝐸))
19	18	ifbid 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	15, 17, 19	mposn 7914	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
21	10, 10, 14, 20	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = 𝐸
23	22	iftruei 4463	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
24	23	opeq2i 4805	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
25	24	sneqi 4569	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
26	21, 25	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩})
27		mat1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
28	27	opeq1i 4804	. . . 4 ⊢ ⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
29	28	sneqi 4569	. . 3 ⊢ {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
30	26, 29	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
31	9, 30	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456  {csn 4558  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Fincfn 8691  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mamu 21443  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  mat1mhm  21541  mat1scmat  21596