Theorem mat1dimid 22359

Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dimid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8968	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	mat1 22332	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
12		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	11, 12	ifex 4527	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
16		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝑦))
17	16	ifbid 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		eqeq2 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝐸 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝐸))
19	18	ifbid 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	15, 17, 19	mposn 8036	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
21	10, 10, 14, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = 𝐸
23	22	iftruei 4483	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
24	23	opeq2i 4828	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
25	24	sneqi 4588	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
26	21, 25	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩})
27		mat1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
28	27	opeq1i 4827	. . . 4 ⊢ ⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
29	28	sneqi 4588	. . 3 ⊢ {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
30	26, 29	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
31	9, 30	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ifcif 4476  {csn 4577  ⟨cop 4583  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  Fincfn 8872  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118   Mat cmat 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-mamu 22276  df-mat 22293

This theorem is referenced by:  mat1mhm  22369  mat1scmat  22424