Theorem mat1dimid 22331

Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dimid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9046	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	mat1 22304	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
12		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	11, 12	ifex 4573	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
15		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
16		eqeq1 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝑦))
17	16	ifbid 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		eqeq2 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝐸 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝐸))
19	18	ifbid 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	15, 17, 19	mposn 8089	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
21	10, 10, 14, 20	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
22		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = 𝐸
23	22	iftruei 4530	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
24	23	opeq2i 4872	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
25	24	sneqi 4634	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
26	21, 25	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩})
27		mat1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
28	27	opeq1i 4871	. . . 4 ⊢ ⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
29	28	sneqi 4634	. . 3 ⊢ {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
30	26, 29	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
31	9, 30	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523  {csn 4623  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8941  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  1_rcur 20086  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263

This theorem is referenced by:  mat1mhm  22341  mat1scmat  22396