Theorem mat1dimid 22480

Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dimid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9083	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	mat1 22453	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
12		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	11, 12	ifex 4576	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
16		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝑦))
17	16	ifbid 4549	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝐸 = 𝑦 ↔ 𝐸 = 𝐸))
19	18	ifbid 4549	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → if(𝐸 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
20	15, 17, 19	mposn 8128	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
21	10, 10, 14, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩})
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = 𝐸
23	22	iftruei 4532	. . . . . 6 ⊢ if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅)
24	23	opeq2i 4877	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
25	24	sneqi 4637	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
26	21, 25	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩})
27		mat1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
28	27	opeq1i 4876	. . . 4 ⊢ ⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩
29	28	sneqi 4637	. . 3 ⊢ {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r‘𝑅)⟩}
30	26, 29	eqtr4di 2795	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
31	9, 30	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ifcif 4525  {csn 4626  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412

This theorem is referenced by:  mat1mhm  22490  mat1scmat  22545