Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimid 21188
 Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dimid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8627 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝐸𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
32anim2i 619 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
43ancomd 465 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 mat1dim.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6 eqid 2758 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7 eqid 2758 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85, 6, 7mat1 21161 . . 3 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))))
10 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
11 fvex 6676 . . . . . . 7 (1r𝑅) ∈ V
12 fvex 6676 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
1311, 12ifex 4473 . . . . . 6 if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V)
15 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅)))
16 eqeq1 2762 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 = 𝑦𝐸 = 𝑦))
1716ifbid 4446 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝐸 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅)))
18 eqeq2 2770 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐸 → (𝐸 = 𝑦𝐸 = 𝐸))
1918ifbid 4446 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐸 → if(𝐸 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅)))
2015, 17, 19mposn 7809 . . . . 5 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅))⟩})
2110, 10, 14, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅))⟩})
22 eqid 2758 . . . . . . 7 𝐸 = 𝐸
2322iftruei 4430 . . . . . 6 if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅)) = (1r𝑅)
2423opeq2i 4770 . . . . 5 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅))⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r𝑅)⟩
2524sneqi 4536 . . . 4 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, if(𝐸 = 𝐸, (1r𝑅), (0g𝑅))⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r𝑅)⟩}
2621, 25eqtrdi 2809 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r𝑅)⟩})
27 mat1dim.o . . . . 5 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2827opeq1i 4769 . . . 4 𝑂, (1r𝑅)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r𝑅)⟩
2928sneqi 4536 . . 3 {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (1r𝑅)⟩}
3026, 29eqtr4di 2811 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r𝑅), (0g𝑅))) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
319, 30eqtrd 2793 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ifcif 4423  {csn 4525  ⟨cop 4531  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  Fincfn 8540  Basecbs 16555  0gc0g 16785  1rcur 19333  Ringcrg 19379   Mat cmat 21121 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-prds 16793  df-pws 16795  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-sra 20026  df-rgmod 20027  df-dsmm 20511  df-frlm 20526  df-mamu 21100  df-mat 21122 This theorem is referenced by:  mat1mhm  21198  mat1scmat  21253
 Copyright terms: Public domain W3C validator