![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mdetpmtr2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetpmtr.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetpmtr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetpmtr.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetpmtr.g | โข ๐บ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
mdetpmtr.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
mdetpmtr.z | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
mdetpmtr.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetpmtr2.e | โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetpmtr2 | โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpll 766 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ CRing) | |
2 | simplr 768 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ Fin) | |
3 | mdetpmtr.a | . . . . 5 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
4 | mdetpmtr.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
5 | 3, 4 | mattposcl 21955 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ tpos ๐ โ ๐ต) |
6 | 5 | ad2antrl 727 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ tpos ๐ โ ๐ต) |
7 | simprr 772 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ ๐บ) | |
8 | mdetpmtr.d | . . . 4 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
9 | mdetpmtr.g | . . . 4 โข ๐บ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
10 | mdetpmtr.s | . . . 4 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
11 | mdetpmtr.z | . . . 4 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
12 | mdetpmtr.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
13 | mdetpmtr2.e | . . . . . 6 โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) | |
14 | ovtpos 8226 | . . . . . . . . 9 โข ((๐โ๐)tpos ๐๐) = (๐๐(๐โ๐)) | |
15 | 14 | eqcomi 2742 | . . . . . . . 8 โข (๐๐(๐โ๐)) = ((๐โ๐)tpos ๐๐) |
16 | 15 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐(๐โ๐)) = ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
17 | 16 | mpoeq3ia 7487 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
18 | 13, 17 | eqtri 2761 | . . . . 5 โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
19 | 18 | tposmpo 8248 | . . . 4 โข tpos ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
20 | 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19 | mdetpmtr1 32803 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (tpos ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ))) |
21 | 1, 2, 6, 7, 20 | syl22anc 838 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ))) |
22 | 8, 3, 4 | mdettpos 22113 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
23 | 22 | ad2ant2r 746 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
24 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
25 | simp2 1138 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
26 | 7 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐บ) |
27 | simp3 1139 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
28 | eqid 2733 | . . . . . . . . 9 โข (SymGrpโ๐) = (SymGrpโ๐) | |
29 | 28, 9 | symgfv 19247 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ ๐บ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐) |
30 | 26, 27, 29 | syl2anc 585 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐) |
31 | simp1rl 1239 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) | |
32 | 3, 24, 4, 25, 30, 31 | matecld 21928 | . . . . . 6 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐(๐โ๐)) โ (Baseโ๐ )) |
33 | 3, 24, 4, 2, 1, 32 | matbas2d 21925 | . . . . 5 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) โ ๐ต) |
34 | 13, 33 | eqeltrid 2838 | . . . 4 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ธ โ ๐ต) |
35 | 8, 3, 4 | mdettpos 22113 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐ธ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐ธ) = (๐ทโ๐ธ)) |
36 | 1, 34, 35 | syl2anc 585 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐ธ) = (๐ทโ๐ธ)) |
37 | 36 | oveq2d 7425 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ)) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
38 | 21, 23, 37 | 3eqtr3d 2781 | 1 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ ccom 5681 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โ cmpo 7411 tpos ctpos 8210 Fincfn 8939 Basecbs 17144 .rcmulr 17198 SymGrpcsymg 19234 pmSgncpsgn 19357 CRingccrg 20057 โคRHomczrh 21049 Mat cmat 21907 maDet cmdat 22086 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-addf 11189 ax-mulf 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-xor 1511 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-tpos 8211 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-er 8703 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-sup 9437 df-oi 9505 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-rp 12975 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-seq 13967 df-exp 14028 df-hash 14291 df-word 14465 df-lsw 14513 df-concat 14521 df-s1 14546 df-substr 14591 df-pfx 14621 df-splice 14700 df-reverse 14709 df-s2 14799 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-prds 17393 df-pws 17395 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-mhm 18671 df-submnd 18672 df-efmnd 18750 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-mulg 18951 df-subg 19003 df-ghm 19090 df-gim 19133 df-cntz 19181 df-oppg 19210 df-symg 19235 df-pmtr 19310 df-psgn 19359 df-cmn 19650 df-abl 19651 df-mgp 19988 df-ur 20005 df-ring 20058 df-cring 20059 df-oppr 20150 df-dvdsr 20171 df-unit 20172 df-invr 20202 df-dvr 20215 df-rnghom 20251 df-subrg 20317 df-drng 20359 df-sra 20785 df-rgmod 20786 df-cnfld 20945 df-zring 21018 df-zrh 21053 df-dsmm 21287 df-frlm 21302 df-mat 21908 df-mdet 22087 |
This theorem is referenced by: mdetpmtr12 32805 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |