Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr2 31152
 Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr2.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr2
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
2 simplr 768 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
3 mdetpmtr.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetpmtr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4mattposcl 21065 . . . 4 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
65ad2antrl 727 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → tpos 𝑀𝐵)
7 simprr 772 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
8 mdetpmtr.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9 mdetpmtr.g . . . 4 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10 mdetpmtr.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11 mdetpmtr.z . . . 4 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 mdetpmtr.t . . . 4 · = (.r𝑅)
13 mdetpmtr2.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
14 ovtpos 7903 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖) = (𝑖𝑀(𝑃𝑗))
1514eqcomi 2833 . . . . . . . 8 (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖)
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1716mpoeq3ia 7225 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1813, 17eqtri 2847 . . . . 5 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1918tposmpo 7925 . . . 4 tpos 𝐸 = (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
203, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19mdetpmtr1 31151 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (tpos 𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
211, 2, 6, 7, 20syl22anc 837 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
228, 3, 4mdettpos 21223 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
2322ad2ant2r 746 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
24 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2673ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
27 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
28 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2928, 9symgfv 18508 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐺𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
3026, 27, 29syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
31 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
323, 24, 4, 25, 30, 31matecld 21038 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
333, 24, 4, 2, 1, 32matbas2d 21035 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) ∈ 𝐵)
3413, 33eqeltrid 2920 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
358, 3, 4mdettpos 21223 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝐵) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
361, 34, 35syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
3736oveq2d 7165 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
3821, 23, 373eqtr3d 2867 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∘ ccom 5546  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  tpos ctpos 7887  Fincfn 8505  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  CRingccrg 19298  ℤRHomczrh 20200   Mat cmat 21019   maDet cmdat 21196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20099  df-zring 20171  df-zrh 20204  df-dsmm 20428  df-frlm 20443  df-mat 21020  df-mdet 21197 This theorem is referenced by:  mdetpmtr12  31153
 Copyright terms: Public domain W3C validator