![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mdetpmtr2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetpmtr.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetpmtr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetpmtr.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetpmtr.g | โข ๐บ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
mdetpmtr.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
mdetpmtr.z | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
mdetpmtr.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetpmtr2.e | โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetpmtr2 | โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpll 764 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ CRing) | |
2 | simplr 766 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ Fin) | |
3 | mdetpmtr.a | . . . . 5 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
4 | mdetpmtr.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
5 | 3, 4 | mattposcl 22310 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ tpos ๐ โ ๐ต) |
6 | 5 | ad2antrl 725 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ tpos ๐ โ ๐ต) |
7 | simprr 770 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ โ ๐บ) | |
8 | mdetpmtr.d | . . . 4 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
9 | mdetpmtr.g | . . . 4 โข ๐บ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
10 | mdetpmtr.s | . . . 4 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
11 | mdetpmtr.z | . . . 4 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
12 | mdetpmtr.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
13 | mdetpmtr2.e | . . . . . 6 โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) | |
14 | ovtpos 8227 | . . . . . . . . 9 โข ((๐โ๐)tpos ๐๐) = (๐๐(๐โ๐)) | |
15 | 14 | eqcomi 2735 | . . . . . . . 8 โข (๐๐(๐โ๐)) = ((๐โ๐)tpos ๐๐) |
16 | 15 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐(๐โ๐)) = ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
17 | 16 | mpoeq3ia 7483 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
18 | 13, 17 | eqtri 2754 | . . . . 5 โข ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
19 | 18 | tposmpo 8249 | . . . 4 โข tpos ๐ธ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ ((๐โ๐)tpos ๐๐)) |
20 | 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19 | mdetpmtr1 33333 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (tpos ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ))) |
21 | 1, 2, 6, 7, 20 | syl22anc 836 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ))) |
22 | 8, 3, 4 | mdettpos 22468 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
23 | 22 | ad2ant2r 744 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐) = (๐ทโ๐)) |
24 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
25 | simp2 1134 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
26 | 7 | 3ad2ant1 1130 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐บ) |
27 | simp3 1135 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
28 | eqid 2726 | . . . . . . . . 9 โข (SymGrpโ๐) = (SymGrpโ๐) | |
29 | 28, 9 | symgfv 19299 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ ๐บ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐) |
30 | 26, 27, 29 | syl2anc 583 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐) |
31 | simp1rl 1235 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) | |
32 | 3, 24, 4, 25, 30, 31 | matecld 22283 | . . . . . 6 โข ((((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐(๐โ๐)) โ (Baseโ๐ )) |
33 | 3, 24, 4, 2, 1, 32 | matbas2d 22280 | . . . . 5 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐(๐โ๐))) โ ๐ต) |
34 | 13, 33 | eqeltrid 2831 | . . . 4 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ ๐ธ โ ๐ต) |
35 | 8, 3, 4 | mdettpos 22468 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐ธ โ ๐ต) โ (๐ทโtpos ๐ธ) = (๐ทโ๐ธ)) |
36 | 1, 34, 35 | syl2anc 583 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโtpos ๐ธ) = (๐ทโ๐ธ)) |
37 | 36 | oveq2d 7421 | . 2 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโtpos ๐ธ)) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
38 | 21, 23, 37 | 3eqtr3d 2774 | 1 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐บ)) โ (๐ทโ๐) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ทโ๐ธ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ ccom 5673 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 tpos ctpos 8211 Fincfn 8941 Basecbs 17153 .rcmulr 17207 SymGrpcsymg 19286 pmSgncpsgn 19409 CRingccrg 20139 โคRHomczrh 21386 Mat cmat 22262 maDet cmdat 22441 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-addf 11191 ax-mulf 11192 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-tpos 8212 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-word 14471 df-lsw 14519 df-concat 14527 df-s1 14552 df-substr 14597 df-pfx 14627 df-splice 14706 df-reverse 14715 df-s2 14805 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-prds 17402 df-pws 17404 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-submnd 18714 df-efmnd 18794 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-mulg 18996 df-subg 19050 df-ghm 19139 df-gim 19184 df-cntz 19233 df-oppg 19262 df-symg 19287 df-pmtr 19362 df-psgn 19411 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-ur 20087 df-ring 20140 df-cring 20141 df-oppr 20236 df-dvdsr 20259 df-unit 20260 df-invr 20290 df-dvr 20303 df-rhm 20374 df-subrng 20446 df-subrg 20471 df-drng 20589 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-cnfld 21241 df-zring 21334 df-zrh 21390 df-dsmm 21627 df-frlm 21642 df-mat 22263 df-mdet 22442 |
This theorem is referenced by: mdetpmtr12 33335 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |