Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr2 33334
Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetpmtr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetpmtr.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetpmtr.g ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetpmtr.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetpmtr.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetpmtr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetpmtr2.e ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—)))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐บ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetpmtr2
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
2 simplr 766 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3 mdetpmtr.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 mdetpmtr.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
53, 4mattposcl 22310 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
65ad2antrl 725 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
7 simprr 770 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
8 mdetpmtr.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
9 mdetpmtr.g . . . 4 ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
10 mdetpmtr.s . . . 4 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
11 mdetpmtr.z . . . 4 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
12 mdetpmtr.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
13 mdetpmtr2.e . . . . . 6 ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—)))
14 ovtpos 8227 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–) = (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—))
1514eqcomi 2735 . . . . . . . 8 (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–)
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–))
1716mpoeq3ia 7483 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–))
1813, 17eqtri 2754 . . . . 5 ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–))
1918tposmpo 8249 . . . 4 tpos ๐ธ = (๐‘— โˆˆ ๐‘, ๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘—)tpos ๐‘€๐‘–))
203, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19mdetpmtr1 33333 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (tpos ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜tpos ๐ธ)))
211, 2, 6, 7, 20syl22anc 836 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜tpos ๐ธ)))
228, 3, 4mdettpos 22468 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
2322ad2ant2r 744 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐‘€) = (๐ทโ€˜๐‘€))
24 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
25 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2673ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
27 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
28 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
2928, 9symgfv 19299 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐‘)
3026, 27, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐‘)
31 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
323, 24, 4, 25, 30, 31matecld 22283 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
333, 24, 4, 2, 1, 32matbas2d 22280 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€(๐‘ƒโ€˜๐‘—))) โˆˆ ๐ต)
3413, 33eqeltrid 2831 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
358, 3, 4mdettpos 22468 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐ธ) = (๐ทโ€˜๐ธ))
361, 34, 35syl2anc 583 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜tpos ๐ธ) = (๐ทโ€˜๐ธ))
3736oveq2d 7421 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜tpos ๐ธ)) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
3821, 23, 373eqtr3d 2774 1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ˜ ccom 5673  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  tpos ctpos 8211  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  CRingccrg 20139  โ„คRHomczrh 21386   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-mdet 22442
This theorem is referenced by:  mdetpmtr12  33335
  Copyright terms: Public domain W3C validator