Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr2 33639
Description: The determinant of a matrix with permuted columns is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr2.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr2
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
2 simplr 767 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
3 mdetpmtr.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetpmtr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4mattposcl 22446 . . . 4 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
65ad2antrl 726 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → tpos 𝑀𝐵)
7 simprr 771 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
8 mdetpmtr.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9 mdetpmtr.g . . . 4 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10 mdetpmtr.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11 mdetpmtr.z . . . 4 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
12 mdetpmtr.t . . . 4 · = (.r𝑅)
13 mdetpmtr2.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗)))
14 ovtpos 8256 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖) = (𝑖𝑀(𝑃𝑗))
1514eqcomi 2735 . . . . . . . 8 (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖)
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1716mpoeq3ia 7503 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1813, 17eqtri 2754 . . . . 5 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
1918tposmpo 8278 . . . 4 tpos 𝐸 = (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ ((𝑃𝑗)tpos 𝑀𝑖))
203, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 19mdetpmtr1 33638 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (tpos 𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
211, 2, 6, 7, 20syl22anc 837 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)))
228, 3, 4mdettpos 22604 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
2322ad2ant2r 745 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝑀) = (𝐷𝑀))
24 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2673ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
27 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
28 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2928, 9symgfv 19377 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐺𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
3026, 27, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑗) ∈ 𝑁)
31 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
323, 24, 4, 25, 30, 31matecld 22419 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀(𝑃𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
333, 24, 4, 2, 1, 32matbas2d 22416 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖𝑀(𝑃𝑗))) ∈ 𝐵)
3413, 33eqeltrid 2830 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
358, 3, 4mdettpos 22604 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝐵) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
361, 34, 35syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷‘tpos 𝐸) = (𝐷𝐸))
3736oveq2d 7440 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘tpos 𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
3821, 23, 373eqtr3d 2774 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  ccom 5686  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  tpos ctpos 8240  Fincfn 8974  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  SymGrpcsymg 19364  pmSgncpsgn 19487  CRingccrg 20217  ℤRHomczrh 21489   Mat cmat 22398   maDet cmdat 22577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-splice 14758  df-reverse 14767  df-s2 14857  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-efmnd 18859  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-symg 19365  df-pmtr 19440  df-psgn 19489  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mat 22399  df-mdet 22578
This theorem is referenced by:  mdetpmtr12  33640
  Copyright terms: Public domain W3C validator