Theorem ncvsge0 25529

Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsprp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvsge0	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem ncvsge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 4101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		ncvsprp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		ncvsprp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	3, 4, 5, 6, 7	ncvsprp 25528	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
9	2, 8	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
10		elinel2 4102	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		absid 15506	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
13	12	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	13	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))
15	9, 14	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   · cmul 11244   ≤ cle 11383  abscabs 15444  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  normcnm 24950  NrmVeccnvc 24955  ℂVecccvs 25499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-mgp 20412  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrg 20873  df-cnfld 21730  df-nm 24956  df-nlm 24960  df-nvc 24961  df-clm 25439  df-cvs 25500

This theorem is used by:  ncvs1  25533