Theorem ncvsge0 25481

Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsprp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvsge0	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem ncvsge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 4097	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		ncvsprp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		ncvsprp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	3, 4, 5, 6, 7	ncvsprp 25480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
9	2, 8	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
10		elinel2 4098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		absid 15470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
13	12	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	13	oveq1d 7437	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))
15	9, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205   · cmul 11210   ≤ cle 11349  abscabs 15408  Basecbs 17394  Scalarcsca 17438   ·_𝑠 cvsca 17439  normcnm 24902  NrmVeccnvc 24907  ℂVecccvs 25451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-subg 19340  df-cmn 20003  df-mgp 20368  df-ring 20468  df-cring 20469  df-subrg 20829  df-cnfld 21686  df-nm 24908  df-nlm 24912  df-nvc 24913  df-clm 25391  df-cvs 25452

This theorem is used by:  ncvs1  25485