Theorem ncvsprp 23904

Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsprp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvsprp	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem ncvsprp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3859	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 23449	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
4	1, 3	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
7		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		ncvsprp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		ncvsprp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	nmvs 23429	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
12	4, 11	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
14	13	cvsclm 23878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
15	1, 14	simplbiim 508	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
16	8, 9	clmabs 23835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
17	15, 16	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
18	17	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
19	18	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
20	19	oveq1d 7185	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	12, 20	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3842  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   · cmul 10620  abscabs 14683  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  normcnm 23329  NrmModcnlm 23333  NrmVeccnvc 23334  ℂModcclm 23814  ℂVecccvs 23875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-cnfld 20218  df-nm 23335  df-nlm 23339  df-nvc 23340  df-clm 23815  df-cvs 23876

This theorem is referenced by:  ncvsge0  23905  ncvsm1  23906  ncvspi  23908