Theorem ncvsprp 25119

Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsprp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvsprp	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem ncvsprp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3905	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24661	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
4	1, 3	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
7		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		ncvsprp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		ncvsprp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	nmvs 24641	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
12	4, 11	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
14	13	cvsclm 25093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
15	1, 14	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
16	8, 9	clmabs 25050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
17	15, 16	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
18	17	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
19	18	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
20	19	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	12, 20	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   · cmul 11043  abscabs 15196  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  normcnm 24541  NrmModcnlm 24545  NrmVeccnvc 24546  ℂModcclm 25029  ℂVecccvs 25090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-mgp 20122  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrg 20547  df-cnfld 21353  df-nm 24547  df-nlm 24551  df-nvc 24552  df-clm 25030  df-cvs 25091

This theorem is referenced by:  ncvsge0  25120  ncvsm1  25121  ncvspi  25123