MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsprp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsprp 25031
Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ncvsprp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ncvsprp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ncvsprp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ncvsprp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvsprp ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))

Proof of Theorem ncvsprp
StepHypRef Expression
1 elin 3959 . . . 4 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
2 nvcnlm 24564 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
32adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
41, 3sylbi 216 . . 3 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
5 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
7 ncvsprp.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 ncvsprp.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 ncvsprp.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2726 . . . 4 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10nmvs 24544 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
124, 11syl3an1 1160 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
13 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
1413cvsclm 25004 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
151, 14simplbiim 504 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
168, 9clmabs 24961 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
1715, 16sylan 579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
18173adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
1918eqcomd 2732 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = (absβ€˜π΄))
2019oveq1d 7419 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2112, 20eqtrd 2766 1 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Β· cmul 11114  abscabs 15185  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  normcnm 24436  NrmModcnlm 24440  NrmVeccnvc 24441  β„‚Modcclm 24940  β„‚Vecccvs 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-mgp 20038  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrg 20469  df-cnfld 21237  df-nm 24442  df-nlm 24446  df-nvc 24447  df-clm 24941  df-cvs 25002
This theorem is referenced by:  ncvsge0  25032  ncvsm1  25033  ncvspi  25035
  Copyright terms: Public domain W3C validator