MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsprp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsprp 25165
Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsprp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvsprp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvsprp ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem ncvsprp
StepHypRef Expression
1 elin 3962 . . . 4 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 24698 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
32adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41, 3sylbi 216 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmMod)
5 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
7 ncvsprp.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
8 ncvsprp.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 ncvsprp.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2726 . . . 4 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
115, 6, 7, 8, 9, 10nmvs 24678 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
124, 11syl3an1 1160 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 25138 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 503 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
168, 9clmabs 25095 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
1715, 16sylan 578 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
18173adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
1918eqcomd 2732 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
2019oveq1d 7428 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) · (𝑁𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
2112, 20eqtrd 2766 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3945  cfv 6543  (class class class)co 7413   · cmul 11151  abscabs 15231  Basecbs 17205  Scalarcsca 17261   ·𝑠 cvsca 17262  normcnm 24570  NrmModcnlm 24574  NrmVeccnvc 24575  ℂModcclm 25074  ℂVecccvs 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13530  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-0g 17448  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-grp 18923  df-subg 19110  df-cmn 19773  df-mgp 20111  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20546  df-cnfld 21337  df-nm 24576  df-nlm 24580  df-nvc 24581  df-clm 25075  df-cvs 25136
This theorem is referenced by:  ncvsge0  25166  ncvsm1  25167  ncvspi  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator