MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsprp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsprp 25098
Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ncvsprp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ncvsprp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ncvsprp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ncvsprp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvsprp ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))

Proof of Theorem ncvsprp
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . 4 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
2 nvcnlm 24631 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
32adantr 479 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
41, 3sylbi 216 . . 3 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
5 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
7 ncvsprp.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 ncvsprp.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 ncvsprp.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2727 . . . 4 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
115, 6, 7, 8, 9, 10nmvs 24611 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
124, 11syl3an1 1160 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
13 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
1413cvsclm 25071 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
151, 14simplbiim 503 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
168, 9clmabs 25028 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
1715, 16sylan 578 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
18173adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜π΄) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄))
1918eqcomd 2733 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = (absβ€˜π΄))
2019oveq1d 7439 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2112, 20eqtrd 2767 1 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((absβ€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3946  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   Β· cmul 11149  abscabs 15219  Basecbs 17185  Scalarcsca 17241   ·𝑠 cvsca 17242  normcnm 24503  NrmModcnlm 24507  NrmVeccnvc 24508  β„‚Modcclm 25007  β„‚Vecccvs 25068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-mgp 20080  df-ring 20180  df-cring 20181  df-subrg 20513  df-cnfld 21285  df-nm 24509  df-nlm 24513  df-nvc 24514  df-clm 25008  df-cvs 25069
This theorem is referenced by:  ncvsge0  25099  ncvsm1  25100  ncvspi  25102
  Copyright terms: Public domain W3C validator