Theorem cnlnadjlem8 32170

Description: Lemma for cnlnadji 32172. 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem8	⊢ 𝐹 ∈ ContOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem8

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
3	1, 2	nmcopexi 32123	. . 3 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
4		cnlnadjlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem7 32169	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
8	7	rgen 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))
9		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
10	9	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
11	10	ralbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
12	11	rspcev 3567	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
13	3, 8, 12	mp2an 698	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))
14	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem6 32168	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp
15	14	lnopconi 32130	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
16	13, 15	mpbir 232	1 ⊢ 𝐹 ∈ ContOp

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  ℩crio 7319  (class class class)co 7363  ℝcr 11035   · cmul 11041   ≤ cle 11178   ℋchba 31015   ·_ih csp 31018  norm_ℎcno 31019  norm_opcnop 31041  ContOpccop 31042  LinOpclo 31043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181  ax-hcompl 31298

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-lm 23219  df-t1 23304  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cfil 25247  df-cau 25248  df-cmet 25249  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-gdiv 30592  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-sm 30693  df-0v 30694  df-vs 30695  df-nmcv 30696  df-ims 30697  df-dip 30797  df-ssp 30818  df-ph 30909  df-cbn 30959  df-hnorm 31064  df-hba 31065  df-hvsub 31067  df-hlim 31068  df-hcau 31069  df-sh 31303  df-ch 31317  df-oc 31348  df-ch0 31349  df-nmop 31935  df-cnop 31936  df-lnop 31937  df-unop 31939  df-nmfn 31941  df-nlfn 31942  df-cnfn 31943  df-lnfn 31944

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem9  32171