Theorem cnlnadjlem8 31858

Description: Lemma for cnlnadji 31860. 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem8	⊢ 𝐹 ∈ ContOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem8

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
3	1, 2	nmcopexi 31811	. . 3 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
4		cnlnadjlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem7 31857	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
8	7	rgen 3058	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))
9		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
10	9	breq2d 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
11	10	ralbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
12	11	rspcev 3607	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
13	3, 8, 12	mp2an 691	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))
14	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem6 31856	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp
15	14	lnopconi 31818	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
16	13, 15	mpbir 230	1 ⊢ 𝐹 ∈ ContOp

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  ℩crio 7369  (class class class)co 7414  ℝcr 11123   · cmul 11129   ≤ cle 11265   ℋchba 30703   ·_ih csp 30706  norm_ℎcno 30707  norm_opcnop 30729  ContOpccop 30730  LinOpclo 30731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 30783  ax-hfvadd 30784  ax-hvcom 30785  ax-hvass 30786  ax-hv0cl 30787  ax-hvaddid 30788  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulid 30790  ax-hvmulass 30791  ax-hvdistr1 30792  ax-hvdistr2 30793  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869  ax-hcompl 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-lm 23107  df-t1 23192  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cfil 25157  df-cau 25158  df-cmet 25159  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-dip 30485  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647  df-hnorm 30752  df-hba 30753  df-hvsub 30755  df-hlim 30756  df-hcau 30757  df-sh 30991  df-ch 31005  df-oc 31036  df-ch0 31037  df-nmop 31623  df-cnop 31624  df-lnop 31625  df-unop 31627  df-nmfn 31629  df-nlfn 31630  df-cnfn 31631  df-lnfn 31632

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem9  31859