Theorem cnlnadjlem8 32497

Description: Lemma for cnlnadji 32499. 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem8	⊢ 𝐹 ∈ ContOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦, 𝑤, 𝑣, 𝑔)   𝐹(𝑦, 𝑣, 𝑔)   𝐺(𝑦, 𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem8

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
3	1, 2	nmcopexi 32450	. . 3 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
4		cnlnadjlem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem7 32496	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
8	7	rgen 3083	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))
9		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
10	9	breq2d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → ((normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
11	10	ralbidv 3190	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (normop‘𝑇) → (∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))))
12	11	rspcev 3583	. . 3 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
13	3, 8, 12	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))
14	1, 2, 4, 5, 6	cnlnadjlem6 32495	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp
15	14	lnopconi 32457	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (normℎ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
16	13, 15	mpbir 234	1 ⊢ 𝐹 ∈ ContOp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  ℝcr 11114   · cmul 11120   ≤ cle 11259   ℋchba 31342   ·_ih csp 31345  norm_ℎcno 31346  norm_opcnop 31368  ContOpccop 31369  LinOpclo 31370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195  ax-hilex 31422  ax-hfvadd 31423  ax-hvcom 31424  ax-hvass 31425  ax-hv0cl 31426  ax-hvaddid 31427  ax-hfvmul 31428  ax-hvmulid 31429  ax-hvmulass 31430  ax-hvdistr1 31431  ax-hvdistr2 31432  ax-hvmul0 31433  ax-hfi 31502  ax-his1 31505  ax-his2 31506  ax-his3 31507  ax-his4 31508  ax-hcompl 31625

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-lm 23436  df-t1 23521  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cfil 25465  df-cau 25466  df-cmet 25467  df-grpo 30916  df-gid 30917  df-ginv 30918  df-gdiv 30919  df-ablo 30968  df-vc 30982  df-nv 31015  df-va 31018  df-ba 31019  df-sm 31020  df-0v 31021  df-vs 31022  df-nmcv 31023  df-ims 31024  df-dip 31124  df-ssp 31145  df-ph 31236  df-cbn 31286  df-hnorm 31391  df-hba 31392  df-hvsub 31394  df-hlim 31395  df-hcau 31396  df-sh 31630  df-ch 31644  df-oc 31675  df-ch0 31676  df-nmop 32262  df-cnop 32263  df-lnop 32264  df-unop 32266  df-nmfn 32268  df-nlfn 32269  df-cnfn 32270  df-lnfn 32271

This theorem is used by:  cnlnadjlem9  32498