Theorem numclwwlk8 28331

Description: The size of the set of closed walks of length 𝑃, 𝑃 prime, is divisible by 𝑃. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p", see also clwlksndivn 28025. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk8	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)

Proof of Theorem numclwwlk8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16117	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		clwwlkndivn 28019	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)))
3		dvdsmod0 15707	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)
4	1, 2, 3	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  ℕcn 11718   mod cmo 13330  ♯chash 13784   ∥ cdvds 15701  ℙcprime 16114  FinUSGraphcfusgr 27260   ClWWalksN cclwwlkn 27963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-er 8322  df-ec 8324  df-qs 8328  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-dju 9405  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-ico 12829  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-word 13958  df-lsw 14006  df-concat 14014  df-substr 14094  df-pfx 14124  df-reps 14222  df-csh 14242  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-sum 15138  df-dvds 15702  df-gcd 15940  df-prm 16115  df-phi 16205  df-edg 26995  df-umgr 27030  df-usgr 27098  df-fusgr 27261  df-clwwlk 27921  df-clwwlkn 27964

This theorem is referenced by:  frgrreggt1  28332