MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk8 28331
Description: The size of the set of closed walks of length 𝑃, 𝑃 prime, is divisible by 𝑃. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p", see also clwlksndivn 28025. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)

Proof of Theorem numclwwlk8
StepHypRef Expression
1 prmnn 16117 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 clwwlkndivn 28019 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)))
3 dvdsmod0 15707 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)
41, 2, 3syl2an2 686 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  cn 11718   mod cmo 13330  chash 13784  cdvds 15701  cprime 16114  FinUSGraphcfusgr 27260   ClWWalksN cclwwlkn 27963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-er 8322  df-ec 8324  df-qs 8328  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-dju 9405  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-ico 12829  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-word 13958  df-lsw 14006  df-concat 14014  df-substr 14094  df-pfx 14124  df-reps 14222  df-csh 14242  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-sum 15138  df-dvds 15702  df-gcd 15940  df-prm 16115  df-phi 16205  df-edg 26995  df-umgr 27030  df-usgr 27098  df-fusgr 27261  df-clwwlk 27921  df-clwwlkn 27964
This theorem is referenced by:  frgrreggt1  28332
  Copyright terms: Public domain W3C validator