Theorem numclwwlk8 30994

Description: The size of the set of closed walks of length 𝑃, 𝑃 prime, is divisible by 𝑃. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p", see also clwlksndivn 30678. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk8	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)

Proof of Theorem numclwwlk8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16850	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		clwwlkndivn 30672	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)))
3		dvdsmod0 16429	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)
4	1, 2, 3	syl2an2 699	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  ℕcn 12336   mod cmo 14010  ♯chash 14475   ∥ cdvds 16423  ℙcprime 16847  FinUSGraphcfusgr 29898   ClWWalksN cclwwlkn 30616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-ico 13483  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-word 14660  df-lsw 14709  df-concat 14717  df-substr 14790  df-pfx 14822  df-reps 14921  df-csh 14941  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-phi 16944  df-edg 29627  df-umgr 29662  df-usgr 29733  df-fusgr 29899  df-clwwlk 30574  df-clwwlkn 30617

This theorem is used by:  frgrreggt1  30995