Theorem frgrreggt1 30473

Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrreggt1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2	1	anim1ci 617	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	3, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		frgrreggt1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	numclwwlk7lem 30469	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		2z 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
12		nn0z 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
16		zltlem1 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
17	10, 12, 16	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
18	17	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
19		eluz2 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
20	11, 15, 18, 19	syl3anbrc 1345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
21		exprmfct 16636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
23	4	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
24	7	finrusgrfusgr 29644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26	25	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28		numclwwlk8 30472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
30	2	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32	31	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34	33	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35		simp1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
36	7	numclwwlk7 30471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39		ax-1ne0 11100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
40	39	nesymi 2990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 = 1
41	40	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 1 → 𝐾 = 2)
42	38, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
43	29, 37, 42	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
45	44	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
46	45	rexlimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
47	22, 46	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
48	47	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
49	48	com23 86	. . . 4 ⊢ (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
50		1red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51		nn0re 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
52	50, 51	ltnled 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53		1e2m1 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
55	54	breq2d 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
56	55	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57		zltlem1 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
58	12, 10, 57	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59	58	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
60	59	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
61	52, 56, 60	3bitrd 305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62		2re 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
63		lttri3 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
64	63	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
65	51, 62, 64	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
66	65	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
67	61, 66	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
68	67	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
69	68	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
70	49, 69	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
71	9, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
72	71	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8888  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  2c2 12205  ℕ₀cn0 12406  ℤcz 12493  ℤ_≥cuz 12756   mod cmo 13794  ♯chash 14258   ∥ cdvds 16184  ℙcprime 16603  Vtxcvtx 29074  FinUSGraphcfusgr 29394   RegUSGraph crusgr 29635   ClWWalksN cclwwlkn 30104   FriendGraph cfrgr 30338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-xadd 13032  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-word 14442  df-lsw 14491  df-concat 14499  df-s1 14525  df-substr 14570  df-pfx 14600  df-reps 14697  df-csh 14717  df-s2 14776  df-s3 14777  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-sum 15615  df-dvds 16185  df-gcd 16427  df-prm 16604  df-phi 16698  df-vtx 29076  df-iedg 29077  df-edg 29126  df-uhgr 29136  df-ushgr 29137  df-upgr 29160  df-umgr 29161  df-uspgr 29228  df-usgr 29229  df-fusgr 29395  df-nbgr 29411  df-vtxdg 29545  df-rgr 29636  df-rusgr 29637  df-wlks 29678  df-wlkson 29679  df-trls 29769  df-trlson 29770  df-pths 29792  df-spths 29793  df-pthson 29794  df-spthson 29795  df-wwlks 29908  df-wwlksn 29909  df-wwlksnon 29910  df-wspthsn 29911  df-wspthsnon 29912  df-clwwlk 30062  df-clwwlkn 30105  df-clwwlknon 30168  df-frgr 30339

This theorem is referenced by:  frgrreg  30474