Theorem frgrreggt1 29913

Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrreggt1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2	1	anim1ci 614	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	3, 4	jca 510	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		frgrreggt1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	numclwwlk7lem 29909	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 8	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		2z 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
12		nn0z 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
16		zltlem1 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
17	10, 12, 16	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
18	17	biimpa 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
19		eluz2 12832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
20	11, 15, 18, 19	syl3anbrc 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
21		exprmfct 16645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
23	4	anim1ci 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
24	7	finrusgrfusgr 29089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26	25	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28		numclwwlk8 29912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
29	26, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
30	2	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31		pm3.22 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32	31	3adant1 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
33	32	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34	33	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
36	7	numclwwlk7 29911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39		ax-1ne0 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
40	39	nesymi 2996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 = 1
41	40	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 1 → 𝐾 = 2)
42	38, 41	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
43	29, 37, 42	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
45	44	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
46	45	rexlimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
47	22, 46	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
48	47	expcom 412	. . . . 5 ⊢ (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
49	48	com23 86	. . . 4 ⊢ (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
50		1red 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51		nn0re 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
52	50, 51	ltnled 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53		1e2m1 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
55	54	breq2d 5159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
56	55	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57		zltlem1 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
58	12, 10, 57	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59	58	bicomd 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
60	59	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
61	52, 56, 60	3bitrd 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62		2re 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
63		lttri3 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
64	63	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
65	51, 62, 64	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
66	65	expd 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
67	61, 66	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
68	67	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
69	68	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
70	49, 69	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
71	9, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
72	71	expimpd 452	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826   mod cmo 13838  ♯chash 14294   ∥ cdvds 16201  ℙcprime 16612  Vtxcvtx 28523  FinUSGraphcfusgr 28840   RegUSGraph crusgr 29080   ClWWalksN cclwwlkn 29544   FriendGraph cfrgr 29778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-reps 14723  df-csh 14743  df-s2 14803  df-s3 14804  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-vtx 28525  df-iedg 28526  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-ushgr 28586  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-uspgr 28677  df-usgr 28678  df-fusgr 28841  df-nbgr 28857  df-vtxdg 28990  df-rgr 29081  df-rusgr 29082  df-wlks 29123  df-wlkson 29124  df-trls 29216  df-trlson 29217  df-pths 29240  df-spths 29241  df-pthson 29242  df-spthson 29243  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352  df-wwlksnon 29353  df-wspthsn 29354  df-wspthsnon 29355  df-clwwlk 29502  df-clwwlkn 29545  df-clwwlknon 29608  df-frgr 29779

This theorem is referenced by:  frgrreg  29914