Theorem frgrreggt1 30247

Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrreggt1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2	1	anim1ci 614	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	3, 4	jca 510	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		frgrreggt1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	numclwwlk7lem 30243	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 8	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		2z 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
12		nn0z 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
16		zltlem1 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
17	10, 12, 16	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
18	17	biimpa 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
19		eluz2 12858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
20	11, 15, 18, 19	syl3anbrc 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
21		exprmfct 16674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
23	4	anim1ci 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
24	7	finrusgrfusgr 29423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26	25	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28		numclwwlk8 30246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
29	26, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
30	2	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31		pm3.22 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32	31	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
33	32	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34	33	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35		simp1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
36	7	numclwwlk7 30245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38		eqeq1 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39		ax-1ne0 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
40	39	nesymi 2988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 = 1
41	40	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 1 → 𝐾 = 2)
42	38, 41	biimtrdi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
43	29, 37, 42	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
45	44	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
46	45	rexlimiva 3137	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
47	22, 46	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
48	47	expcom 412	. . . . 5 ⊢ (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
49	48	com23 86	. . . 4 ⊢ (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
50		1red 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51		nn0re 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
52	50, 51	ltnled 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53		1e2m1 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
55	54	breq2d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
56	55	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57		zltlem1 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
58	12, 10, 57	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59	58	bicomd 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
60	59	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
61	52, 56, 60	3bitrd 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62		2re 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
63		lttri3 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
64	63	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
65	51, 62, 64	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
66	65	expd 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
67	61, 66	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
68	67	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
69	68	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
70	49, 69	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
71	9, 70	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
72	71	expimpd 452	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  ∅c0 4318   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  2c2 12297  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   mod cmo 13866  ♯chash 14321   ∥ cdvds 16230  ℙcprime 16641  Vtxcvtx 28853  FinUSGraphcfusgr 29173   RegUSGraph crusgr 29414   ClWWalksN cclwwlkn 29878   FriendGraph cfrgr 30112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-reps 14751  df-csh 14771  df-s2 14831  df-s3 14832  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-vtx 28855  df-iedg 28856  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-ushgr 28916  df-upgr 28939  df-umgr 28940  df-uspgr 29007  df-usgr 29008  df-fusgr 29174  df-nbgr 29190  df-vtxdg 29324  df-rgr 29415  df-rusgr 29416  df-wlks 29457  df-wlkson 29458  df-trls 29550  df-trlson 29551  df-pths 29574  df-spths 29575  df-pthson 29576  df-spthson 29577  df-wwlks 29685  df-wwlksn 29686  df-wwlksnon 29687  df-wspthsn 29688  df-wspthsnon 29689  df-clwwlk 29836  df-clwwlkn 29879  df-clwwlknon 29942  df-frgr 30113

This theorem is referenced by:  frgrreg  30248