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Theorem frgrreggt1 30155
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐟-regular with 𝐟 > 1, then 𝐟 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreggt1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 1 < 𝐟) → 𝐟 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
21anim1ci 615 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
53, 4jca 511 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
65adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7 frgrreggt1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87numclwwlk7lem 30151 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐟 ∈ ℕ0)
92, 6, 8syl2anc 583 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → 𝐟 ∈ ℕ0)
10 2z 12598 . . . . . . . . . 10 2 ∈ â„€
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → 2 ∈ â„€)
12 nn0z 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝐟 ∈ ℕ0 → 𝐟 ∈ â„€)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → 𝐟 ∈ â„€)
14 peano2zm 12609 . . . . . . . . . 10 (𝐟 ∈ â„€ → (𝐟 − 1) ∈ â„€)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → (𝐟 − 1) ∈ â„€)
16 zltlem1 12619 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ â„€ ∧ 𝐟 ∈ â„€) → (2 < 𝐟 ↔ 2 ≀ (𝐟 − 1)))
1710, 12, 16sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐟 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐟 ↔ 2 ≀ (𝐟 − 1)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → 2 ≀ (𝐟 − 1))
19 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 ((𝐟 − 1) ∈ (℀≥‘2) ↔ (2 ∈ â„€ ∧ (𝐟 − 1) ∈ â„€ ∧ 2 ≀ (𝐟 − 1)))
2011, 15, 18, 19syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → (𝐟 − 1) ∈ (℀≥‘2))
21 exprmfct 16648 . . . . . . . 8 ((𝐟 − 1) ∈ (℀≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1))
234anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
247finrusgrfusgr 29331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26253ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28 numclwwlk8 30154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
3023ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32313adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34333ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)))
367numclwwlk7 30153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
3730, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
4039nesymi 2992 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 0 = 1
4140pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 1 → 𝐟 = 2)
4238, 41syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐟 = 2))
4329, 37, 42sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → 𝐟 = 2)
4443a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) ∧ (𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟)) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))
45443exp 1116 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1)) → ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))))
4645rexlimiva 3141 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐟 − 1) → ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))))
4722, 46mpcom 38 . . . . . 6 ((𝐟 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐟) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2)))
4847expcom 413 . . . . 5 (2 < 𝐟 → (𝐟 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))))
4948com23 86 . . . 4 (2 < 𝐟 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))))
50 1red 11219 . . . . . . . . 9 (𝐟 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (𝐟 ∈ ℕ0 → 𝐟 ∈ ℝ)
5250, 51ltnled 11365 . . . . . . . 8 (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 ↔ ¬ 𝐟 ≀ 1))
53 1e2m1 12343 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐟 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
5554breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (𝐟 ∈ ℕ0 → (𝐟 ≀ 1 ↔ 𝐟 ≀ (2 − 1)))
5655notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐟 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐟 ≀ 1 ↔ ¬ 𝐟 ≀ (2 − 1)))
57 zltlem1 12619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐟 ∈ â„€ ∧ 2 ∈ â„€) → (𝐟 < 2 ↔ 𝐟 ≀ (2 − 1)))
5812, 10, 57sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝐟 ∈ ℕ0 → (𝐟 < 2 ↔ 𝐟 ≀ (2 − 1)))
5958bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝐟 ∈ ℕ0 → (𝐟 ≀ (2 − 1) ↔ 𝐟 < 2))
6059notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐟 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐟 ≀ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐟 < 2))
6152, 56, 603bitrd 305 . . . . . . 7 (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 ↔ ¬ 𝐟 < 2))
62 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
63 lttri3 11301 . . . . . . . . . 10 ((𝐟 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐟 = 2 ↔ (¬ 𝐟 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐟)))
6463biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝐟 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐟 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐟) → 𝐟 = 2))
6551, 62, 64sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝐟 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐟 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐟) → 𝐟 = 2))
6665expd 415 . . . . . . 7 (𝐟 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐟 < 2 → (¬ 2 < 𝐟 → 𝐟 = 2)))
6761, 66sylbid 239 . . . . . 6 (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 → (¬ 2 < 𝐟 → 𝐟 = 2)))
6867com3r 87 . . . . 5 (¬ 2 < 𝐟 → (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2)))
6968a1d 25 . . . 4 (¬ 2 < 𝐟 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))))
7049, 69pm2.61i 182 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (𝐟 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2)))
719, 70mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → (1 < 𝐟 → 𝐟 = 2))
7271expimpd 453 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ 1 < 𝐟) → 𝐟 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Â¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  âˆƒwrex 3064  âˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  â€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  â„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  â„•0cn0 12476  â„€cz 12562  â„€â‰¥cuz 12826   mod cmo 13840  â™¯chash 14295   ∥ cdvds 16204  â„™cprime 16615  Vtxcvtx 28764  FinUSGraphcfusgr 29081   RegUSGraph crusgr 29322   ClWWalksN cclwwlkn 29786   FriendGraph cfrgr 30020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-reps 14725  df-csh 14745  df-s2 14805  df-s3 14806  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-ushgr 28827  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-fusgr 29082  df-nbgr 29098  df-vtxdg 29232  df-rgr 29323  df-rusgr 29324  df-wlks 29365  df-wlkson 29366  df-trls 29458  df-trlson 29459  df-pths 29482  df-spths 29483  df-pthson 29484  df-spthson 29485  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594  df-wwlksnon 29595  df-wspthsn 29596  df-wspthsnon 29597  df-clwwlk 29744  df-clwwlkn 29787  df-clwwlknon 29850  df-frgr 30021
This theorem is referenced by:  frgrreg  30156
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