Theorem frgrreggt1 30874

Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrreggt1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2	1	anim1ci 628	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
5	3, 4	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7		frgrreggt1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	numclwwlk7lem 30870	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	2, 6, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		2z 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
12		nn0z 12642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
16		zltlem1 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
17	10, 12, 16	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
18	17	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
19		eluz2 12896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
20	11, 15, 18, 19	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
21		exprmfct 16799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
23	4	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin))
24	7	finrusgrfusgr 30026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26	25	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28		numclwwlk8 30873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
30	2	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32	31	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34	33	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
36	7	numclwwlk7 30872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39		ax-1ne0 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
40	39	nesymi 3014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 0 = 1
41	40	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 1 → 𝐾 = 2)
42	38, 41	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
43	29, 37, 42	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
44	43	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
45	44	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
46	45	rexlimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
47	22, 46	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
48	47	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
49	48	com23 87	. . . 4 ⊢ (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
50		1red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51		nn0re 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
52	50, 51	ltnled 11384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53		1e2m1 12394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
55	54	breq2d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
56	55	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57		zltlem1 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
58	12, 10, 57	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59	58	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
60	59	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
61	52, 56, 60	3bitrd 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62		2re 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
63		lttri3 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
64	63	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
65	51, 62, 64	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
66	65	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
67	61, 66	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
68	67	com3r 88	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
69	68	a1d 26	. . . 4 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
70	49, 69	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
71	9, 70	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
72	71	expimpd 459	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   mod cmo 13932  ♯chash 14396   ∥ cdvds 16346  ℙcprime 16765  Vtxcvtx 29454  FinUSGraphcfusgr 29777   RegUSGraph crusgr 30017   ClWWalksN cclwwlkn 30495   FriendGraph cfrgr 30739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-word 14581  df-lsw 14630  df-concat 14638  df-s1 14665  df-substr 14711  df-pfx 14743  df-reps 14842  df-csh 14862  df-s2 14921  df-s3 14922  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-vtx 29456  df-iedg 29457  df-edg 29506  df-uhgr 29516  df-ushgr 29517  df-upgr 29540  df-umgr 29541  df-uspgr 29611  df-usgr 29612  df-fusgr 29778  df-nbgr 29794  df-vtxdg 29927  df-rgr 30018  df-rusgr 30019  df-wlks 30060  df-wlkson 30061  df-trls 30155  df-trlson 30156  df-pths 30179  df-spths 30180  df-pthson 30181  df-spthson 30182  df-wwlks 30299  df-wwlksn 30300  df-wwlksnon 30301  df-wspthsn 30302  df-wspthsnon 30303  df-clwwlk 30453  df-clwwlkn 30496  df-clwwlknon 30559  df-frgr 30740

This theorem is used by:  frgrreg  30875