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Theorem frgrreggt1 28757
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreggt1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
21anim1ci 616 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
3 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
4 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
53, 4jca 512 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
65adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7 frgrreggt1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87numclwwlk7lem 28753 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92, 6, 8syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10 2z 12352 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
12 nn0z 12343 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 peano2zm 12363 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
16 zltlem1 12373 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
1710, 12, 16sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
1817biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
19 eluz2 12588 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
2011, 15, 18, 19syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2))
21 exprmfct 16409 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
234anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin))
247finrusgrfusgr 27932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
26253ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
27 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
28 numclwwlk8 28756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
3023ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
31 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
32313adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34333ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
35 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
367numclwwlk7 28755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
3730, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
38 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
39 ax-1ne0 10940 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
4039nesymi 3001 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 0 = 1
4140pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 1 → 𝐾 = 2)
4238, 41syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((♯‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
4329, 37, 42sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
4443a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))
45443exp 1118 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
4645rexlimiva 3210 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
4722, 46mpcom 38 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
4847expcom 414 . . . . 5 (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
4948com23 86 . . . 4 (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
50 1red 10976 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51 nn0re 12242 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5250, 51ltnled 11122 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53 1e2m1 12100 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
5554breq2d 5086 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
5655notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57 zltlem1 12373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
5812, 10, 57sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
5958bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
6059notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
6152, 56, 603bitrd 305 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62 2re 12047 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
63 lttri3 11058 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
6463biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
6551, 62, 64sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
6665expd 416 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾𝐾 = 2)))
6761, 66sylbid 239 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾𝐾 = 2)))
6867com3r 87 . . . . 5 (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
6968a1d 25 . . . 4 (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
7049, 69pm2.61i 182 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
719, 70mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))
7271expimpd 454 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  c0 4256   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582   mod cmo 13589  chash 14044  cdvds 15963  cprime 16376  Vtxcvtx 27366  FinUSGraphcfusgr 27683   RegUSGraph crusgr 27923   ClWWalksN cclwwlkn 28388   FriendGraph cfrgr 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-reps 14482  df-csh 14502  df-s2 14561  df-s3 14562  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-vtx 27368  df-iedg 27369  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-ushgr 27429  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-uspgr 27520  df-usgr 27521  df-fusgr 27684  df-nbgr 27700  df-vtxdg 27833  df-rgr 27924  df-rusgr 27925  df-wlks 27966  df-wlkson 27967  df-trls 28060  df-trlson 28061  df-pths 28084  df-spths 28085  df-pthson 28086  df-spthson 28087  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-wwlksnon 28197  df-wspthsn 28198  df-wspthsnon 28199  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389  df-clwwlknon 28452  df-frgr 28623
This theorem is referenced by:  frgrreg  28758
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