Theorem esumsup 34632

Description: Express an extended sum as a supremum of extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumsup.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsup	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumsup.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2	1	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞))
3		nfmpt1 5204	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
4	3	esumfsup 34613	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
8	7	fvmpt2 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
9	6, 1, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
10	9	esumeq2dv 34581	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
11		1z 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		seqfn 14102	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1)
14		nnuz 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	fneq2i 6633	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1))
16	13, 15	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ
17		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))
18	17	dffn5f 6952	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
19	16, 18	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
21		fz1ssnn 13635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
23	22	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
25	24, 23, 1	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
26	23, 25, 8	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
27	26	esumeq2dv 34581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
28	3	esumfzf 34612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
29	2, 28	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
30	27, 29	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
31	30	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
32	20, 31	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
33	32	rneqd 5924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
34	33	supeq1d 9423	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
35	5, 10, 34	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   Fn wfn 6530  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  supcsup 9417  0cc0 11149  1c1 11150  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℕcn 12282  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912   +_𝑒 cxad 13186  [,]cicc 13426  ...cfz 13586  seqcseq 14090  Σ^*cesum 34570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-shft 15165  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-limsup 15583  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-ef 16178  df-sin 16180  df-cos 16181  df-pi 16183  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-ordt 17612  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-ps 18679  df-tsr 18680  df-plusf 18754  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-abv 21005  df-lmod 21076  df-scaf 21077  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-tmd 24330  df-tgp 24331  df-tsms 24385  df-trg 24418  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-nrg 24843  df-nlm 24844  df-ii 25137  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126  df-log 26825  df-esum 34571

This theorem is used by:  esumgect  34633