Theorem esumsup 34488

Description: Express an extended sum as a supremum of extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumsup.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsup	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumsup.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2	1	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞))
3		nfmpt1 5210	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
4	3	esumfsup 34469	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
8	7	fvmpt2 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
9	6, 1, 8	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
10	9	esumeq2dv 34437	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
11		1z 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		seqfn 14054	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1)
14		nnuz 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	fneq2i 6633	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ≥‘1))
16	13, 15	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ
17		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))
18	17	dffn5f 6952	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
19	16, 18	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
21		fz1ssnn 13588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
23	22	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
25	24, 23, 1	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
26	23, 25, 8	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
27	26	esumeq2dv 34437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
28	3	esumfzf 34468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
29	2, 28	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
30	27, 29	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
31	30	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
32	20, 31	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
33	32	rneqd 5928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
34	33	supeq1d 9402	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
35	5, 10, 34	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9396  0cc0 11104  1c1 11105  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  ℕcn 12237  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866   +_𝑒 cxad 13139  [,]cicc 13379  ...cfz 13539  seqcseq 14042  Σ^*cesum 34426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-pi 16130  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-ordt 17559  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-ps 18626  df-tsr 18627  df-plusf 18701  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-abv 20921  df-lmod 20992  df-scaf 20993  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-tmd 24238  df-tgp 24239  df-tsms 24293  df-trg 24326  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-nm 24748  df-ngp 24749  df-nrg 24751  df-nlm 24752  df-ii 25045  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035  df-log 26730  df-esum 34427

This theorem is used by:  esumgect  34489