Theorem sylow2b 19642

Description: Sylow's second theorem. Any 𝑃-group 𝐻 is a subgroup of a conjugated 𝑃-group 𝐾 of order 𝑃↑𝑛 ∥ (♯‘𝑋) with 𝑛 maximal. This is usually stated under the assumption that 𝐾 is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow2b.hp	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝐻))
sylow2b.kn	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
sylow2b.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sylow2b	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) − 𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐺   𝑔,𝐾,𝑥   + ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥, −   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   − (𝑔)

Proof of Theorem sylow2b

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow2b.xf	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow2b.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow2b.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		sylow2b.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
7		oveq2 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑢 + 𝑠) = (𝑢 + 𝑧))
8	7	cbvmptv 5254	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧))
9		oveq1 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
10	9	mpteq2dv 5243	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
11	8, 10	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
12	11	rneqd 5948	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ran (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = ran (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
13		mpteq1 5234	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
14	13	rneqd 5948	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
15	12, 14	cbvmpov 7529	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐻, 𝑣 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
16		sylow2b.hp	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝐻))
17		sylow2b.kn	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
18		sylow2b.d	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18	sylow2blem3 19641	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) − 𝑔)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ran crn 5685  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434   / cqs 8745  Fincfn 8986  ↑cexp 14103  ♯chash 14370   pCnt cpc 16875  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  +_gcplusg 17298  -_gcsg 18954  SubGrpcsubg 19139   ~_QG cqg 19141   pGrp cpgp 19545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-eqg 19144  df-ga 19309  df-od 19547  df-pgp 19549

This theorem is referenced by:  slwhash  19643  sylow2  19645