MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2b 18238
Description: Sylow's second theorem. Any 𝑃-group 𝐻 is a subgroup of a conjugated 𝑃-group 𝐾 of order 𝑃𝑛 ∥ (♯‘𝑋) with 𝑛 maximal. This is usually stated under the assumption that 𝐾 is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a + = (+g𝐺)
sylow2b.hp (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
sylow2b.kn (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
sylow2b.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2b (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐺   𝑔,𝐾,𝑥   + ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2b
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2b.xf . 2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2b.h . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 sylow2b.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow2b.a . 2 + = (+g𝐺)
6 eqid 2771 . 2 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
7 oveq2 6799 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑧 → (𝑢 + 𝑠) = (𝑢 + 𝑧))
87cbvmptv 4884 . . . . 5 (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧))
9 oveq1 6798 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
109mpteq2dv 4879 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑧𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
118, 10syl5eq 2817 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1211rneqd 5489 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ran (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = ran (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
13 mpteq1 4871 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1413rneqd 5489 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ran (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1512, 14cbvmpt2v 6880 . 2 (𝑢𝐻, 𝑣 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠))) = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
16 sylow2b.hp . 2 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
17 sylow2b.kn . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
18 sylow2b.d . 2 = (-g𝐺)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18sylow2blem3 18237 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6029  (class class class)co 6791  cmpt2 6793   / cqs 7893  Fincfn 8107  cexp 13060  chash 13314   pCnt cpc 15741  Basecbs 16057  s cress 16058  +gcplusg 16142  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789   ~QG cqg 17791   pGrp cpgp 18146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923  df-od 18148  df-pgp 18150
This theorem is referenced by:  slwhash  18239  sylow2  18241
  Copyright terms: Public domain W3C validator