Theorem sylow2b 19143

Description: Sylow's second theorem. Any 𝑃-group 𝐻 is a subgroup of a conjugated 𝑃-group 𝐾 of order 𝑃↑𝑛 ∥ (♯‘𝑋) with 𝑛 maximal. This is usually stated under the assumption that 𝐾 is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow2b.hp	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝐻))
sylow2b.kn	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
sylow2b.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sylow2b	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) − 𝑔)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐺   𝑔,𝐾,𝑥   + ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥, −   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   − (𝑔)

Proof of Theorem sylow2b

Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow2b.xf	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow2b.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		sylow2b.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		sylow2b.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
7		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑢 + 𝑠) = (𝑢 + 𝑧))
8	7	cbvmptv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧))
9		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
10	9	mpteq2dv 5172	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
11	8, 10	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
12	11	rneqd 5836	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ran (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = ran (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
13		mpteq1 5163	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
14	13	rneqd 5836	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
15	12, 14	cbvmpov 7348	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐻, 𝑣 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑠 ∈ 𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠))) = (𝑥 ∈ 𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
16		sylow2b.hp	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝐻))
17		sylow2b.kn	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
18		sylow2b.d	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18	sylow2blem3 19142	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) − 𝑔)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   / cqs 8455  Fincfn 8691  ↑cexp 13710  ♯chash 13972   pCnt cpc 16465  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  -_gcsg 18494  SubGrpcsubg 18664   ~_QG cqg 18666   pGrp cpgp 19049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-ga 18811  df-od 19051  df-pgp 19053

This theorem is referenced by:  slwhash  19144  sylow2  19146