Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem3 42584
Description: Lemma for jm3.1 42585. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem jm3.1lem3
StepHypRef Expression
1 2z 12632 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2 jm3.1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
3 eluzelz 12870 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
5 zmulcl 12649 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
61, 4, 5sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
7 jm3.1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 12906 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
109nnzd 12623 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
116, 10zmulcld 12710 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
12 zsqcl 14134 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
1411, 13zsubcld 12709 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
15 peano2zm 12643 . . 3 ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
17 0red 11254 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18 jm3.1.c . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1918nnnn0d 12570 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
209, 19nnexpcld 14248 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ)
2120nnred 12265 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
2216zred 12704 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
2320nngt0d 12299 . . 3 (𝜑 → 0 < (𝐾𝑁))
24 jm3.1.d . . . 4 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
252, 7, 18, 24jm3.1lem2 42583 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
2617, 21, 22, 23, 25lttrd 11412 . 2 (𝜑 → 0 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
27 elnnz 12606 . 2 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ ↔ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)))
2816, 26, 27sylanbrc 581 1 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481  cn 12250  2c2 12305  cz 12596  cuz 12860  cexp 14067   Yrm crmy 42465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14274  df-bc 14303  df-hash 14331  df-shft 15055  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-limsup 15456  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-ef 16052  df-sin 16054  df-cos 16055  df-pi 16057  df-dvds 16240  df-gcd 16478  df-numer 16715  df-denom 16716  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-mulg 19037  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cncf 24847  df-limc 25844  df-dv 25845  df-log 26540  df-squarenn 42405  df-pell1qr 42406  df-pell14qr 42407  df-pell1234qr 42408  df-pellfund 42409  df-rmx 42466  df-rmy 42467
This theorem is referenced by:  jm3.1  42585  expdiophlem1  42586
  Copyright terms: Public domain W3C validator