Theorem lgsqrmod 27679

Description: If the Legendre symbol of an integer for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr 27678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))
2		eldifi 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
6		zsqcl 14272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
8		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		moddvds 16433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
11	10	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
12	11	reximdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
13	12	adantld 496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
14	1, 13	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  1c1 11201   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693   mod cmo 14009  ↑cexp 14204   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846   /_L clgs 27621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-phi 16943  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-idom 20948  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-zn 21812  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-evl1 22634  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-mon1 26449  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452  df-lgs 27622

This theorem is used by:  lgsqrmodndvds  27680