Theorem chordthmlem5 26969

Description: If P is on the segment AB and AQ = BQ, then PA · PB = BQ ² − PQ ² . This follows from two uses of chordthmlem3 26967 to show that PQ ² = QM ² + PM ² and BQ ² = QM ² + BM ² , so BQ ² − PQ ² = (QM ² + BM ² ) − (QM ² + PM ² ) = BM ² − PM ² , which equals PA · PB by chordthmlem4 26968. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem5.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem5.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem5.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem5.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem5.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem5.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem5	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmlem5.Q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
2		chordthmlem5.A	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		chordthmlem5.B	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	addcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
10	3, 5	subcld 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 14182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
14		chordthmlem5.P	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
15		unitssre 13528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
16		chordthmlem5.X	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0[,]1))
17	15, 16	sselid 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
19	18, 2	mulcld 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
20		1cnd 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21	20, 18	subcld 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
22	21, 3	mulcld 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
23	19, 22	addcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
24	14, 23	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
25	24, 5	subcld 11571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
28	27	sqcld 14182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) ∈ ℂ)
29	9, 13, 28	pnpcand 11608	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)) − (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2))) = (((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) − ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
30		0red 11213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
32	2	mul02d 11410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
33	20	subid1d 11560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
34	33	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
35	3	mullidd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
36	34, 35	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 0) · 𝐵) = 𝐵)
37	32, 36	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 · 𝐴) + ((1 − 0) · 𝐵)) = (0 + 𝐵))
38	3	addlidd 11413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
39	37, 38	eqtr2d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0 · 𝐴) + ((1 − 0) · 𝐵)))
40		chordthmlem5.ABequidistQ	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
41	2, 3, 1, 30, 31, 39, 40	chordthmlem3 26967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
42	2, 3, 1, 17, 31, 14, 40	chordthmlem3 26967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2) = (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
43	41, 42	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = ((((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)) − (((abs‘(𝑄 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) + ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2))))
44	2, 3, 16, 31, 14	chordthmlem4 26968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2) − ((abs‘(𝑃 − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))↑2)))
45	29, 43, 44	3eqtr4rd 2815	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  ℝcr 11101  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   · cmul 11107   − cmin 11443   / cdiv 11873  2c2 12297  [,]cicc 13377  ↑cexp 14099  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-ioc 13379  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16123  df-sin 16125  df-cos 16126  df-pi 16128  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-mulg 19136  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-fbas 21490  df-fg 21491  df-cnfld 21494  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cld 23147  df-ntr 23148  df-cls 23149  df-nei 23226  df-lp 23264  df-perf 23265  df-cn 23355  df-cnp 23356  df-haus 23443  df-tx 23690  df-hmeo 23883  df-fil 23974  df-fm 24066  df-flim 24067  df-flf 24068  df-xms 24448  df-ms 24449  df-tms 24450  df-cncf 25008  df-limc 25996  df-dv 25997  df-log 26689

This theorem is referenced by:  chordthm  26970  chordthmALT  45570