Theorem r1peuqusdeg1 35878

Description: Uniqueness of polynomial remainder in terms of a quotient structure in the sense of the right hand side of r1pid2 26152. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1peuqus.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1peuqus.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
r1peuqus.t	⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
r1peuqus.q	⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
r1peuqus.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1peuqus.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1peuqus.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1peuqus.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
r1peuqus.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
r1peuqusdeg1	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝑃,𝑞   𝐼,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑍,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem r1peuqusdeg1

Dummy variables 𝑝 𝑠 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑃 ~QG 𝐼) = (𝑃 ~QG 𝐼)
5		r1peuqus.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
6		r1peuqus.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
7		r1peuqus.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		r1peuqus.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1domn 26114	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
11		domnring 20686	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		r1peuqus.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
14		r1peuqus.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
15	8, 1, 14	uc1pcl 26134	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		r1peuqus.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)
18		r1peuqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
19	17, 18	eleqtrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16, 19	ellcsrspsn 35876	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}))
21		r1peuqus.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
22		domnring 20686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
26	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑁)
27	8, 21, 1, 2, 3, 14, 24, 25, 26	ply1divalg3 35877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
29		ovexd 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ V)
30		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
31		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
32		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑠(.r‘𝑃)𝐹))
33	32	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
34	33	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
35	34	rspcev 3567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
36	30, 31, 35	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
37		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
38	37	rexbidv 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
39	29, 36, 38	elabd 3626	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
40		simplrr 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
41	39, 40	eleqtrrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ 𝑍)
42		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
43	42	eqimssd 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
44	43	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → 𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
45		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
46	45	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
47	33	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
48	47	cbvrexvw 3219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
49	46, 48	bitrdi 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
50	49	elabg 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
51	50	ibi 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
52	44, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
53		eqtr2 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
54	12	ringgrpd 20221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Grp)
56	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
57		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
58	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
59	1, 3, 56, 57, 58	ringcld 20239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
60		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
61	1, 3, 56, 60, 58	ringcld 20239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
62		simpr1 1201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
63	1, 2	grplcan 18974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
64	55, 59, 61, 62, 63	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
65		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
66		simplr2 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
67		simplr3 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
68	8, 65, 14	uc1pn0 26136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
69	13, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
70	16, 69	eldifsnd 4727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
71	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
72	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑃 ∈ Domn)
73		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
74	1, 65, 3, 66, 67, 71, 72, 73	domnrcan 20702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)
75	74	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) → 𝑠 = 𝑡))
76	64, 75	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
77	76	3exp2 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑡 ∈ (Base‘𝑃) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)))))
78	77	imp43 428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
79	53, 78	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
80	79	ralrimivva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
81		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
82	81	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
83	82	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))))
84	83	rmo4 3678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
85	80, 84	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
86	85	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
87		reu5 3347	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
88	52, 86, 87	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
89		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝐷‘𝑞) = (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
90	89	breq1d 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → ((𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
91	41, 88, 90	reuxfr1ds 3699	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
92	28, 91	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
93	92	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
94	93	reximdva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
95	20, 94	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
96		id 22	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
97	96	rexlimivw 3137	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
98	95, 97	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3343  ∃*wrmo 3344  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  [cec 8638   < clt 11177  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400   /_s cqus 17467  Grpcgrp 18907   ~_QG cqg 19096  Ringcrg 20212  Domncdomn 20671  RSpancrsp 21207  Poly₁cpl1 22169  deg₁cdg1 26044  Unic_1pcuc1p 26117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-imas 17470  df-qus 17471  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-eqg 19099  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-cnfld 21355  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046  df-uc1p 26122

This theorem is referenced by: (None)