Theorem r1peuqusdeg1 36116

Description: Uniqueness of polynomial remainder in terms of a quotient structure in the sense of the right hand side of r1pid2 26300. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1peuqus.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1peuqus.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
r1peuqus.t	⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
r1peuqus.q	⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
r1peuqus.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1peuqus.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1peuqus.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1peuqus.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
r1peuqus.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
r1peuqusdeg1	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝑃,𝑞   𝐼,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑍,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem r1peuqusdeg1

Dummy variables 𝑝 𝑠 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑃 ~QG 𝐼) = (𝑃 ~QG 𝐼)
5		r1peuqus.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
6		r1peuqus.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
7		r1peuqus.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		r1peuqus.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1domn 26262	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
11		domnring 20793	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		r1peuqus.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
14		r1peuqus.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
15	8, 1, 14	uc1pcl 26282	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		r1peuqus.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)
18		r1peuqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
19	17, 18	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16, 19	ellcsrspsn 36114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}))
21		r1peuqus.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
22		domnring 20793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
23	7, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
26	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑁)
27	8, 21, 1, 2, 3, 14, 24, 25, 26	ply1divalg3 36115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
29		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ V)
30		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
31		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
32		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑠(.r‘𝑃)𝐹))
33	32	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
34	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
35	34	rspcev 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
36	30, 31, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
37		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
38	37	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
39	29, 36, 38	elabd 3641	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
40		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
41	39, 40	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ 𝑍)
42		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
43	42	eqimssd 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
44	43	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → 𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
45		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
46	45	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
47	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
48	47	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
49	46, 48	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
50	49	elabg 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
51	50	ibi 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
52	44, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
53		eqtr2 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
54	12	ringgrpd 20325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
55	54	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Grp)
56	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
57		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
58	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
59	1, 3, 56, 57, 58	ringcld 20343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
60		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
61	1, 3, 56, 60, 58	ringcld 20343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
62		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
63	1, 2	grplcan 19068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
64	55, 59, 61, 62, 63	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
65		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
66		simplr2 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
67		simplr3 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
68	8, 65, 14	uc1pn0 26284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
69	13, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
70	16, 69	eldifsnd 4756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
71	70	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
72	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑃 ∈ Domn)
73		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
74	1, 65, 3, 66, 67, 71, 72, 73	domnrcan 20808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)
75	74	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) → 𝑠 = 𝑡))
76	64, 75	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
77	76	3exp2 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑡 ∈ (Base‘𝑃) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)))))
78	77	imp43 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
79	53, 78	syl5 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
80	79	ralrimivva 3208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
81		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
82	81	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
83	82	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))))
84	83	rmo4 3694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
85	80, 84	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
86	85	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
87		reu5 3371	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
88	52, 86, 87	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
89		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝐷‘𝑞) = (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
90	89	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → ((𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
91	41, 88, 90	reuxfr1ds 3715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
92	28, 91	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
93	92	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
94	93	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
95	20, 94	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
96		id 23	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
97	96	rexlimivw 3162	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
98	95, 97	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  {csn 4590   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  [cec 8693   < clt 11244  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493   /_s cqus 17560  Grpcgrp 19001   ~_QG cqg 19189  Ringcrg 20316  Domncdomn 20778  RSpancrsp 21312  Poly₁cpl1 22318  deg₁cdg1 26192  Unic_1pcuc1p 26265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-eqg 19192  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-nzr 20597  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314  df-cnfld 21504  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-mdeg 26193  df-deg1 26194  df-uc1p 26270

This theorem is referenced by: (None)