Theorem r1peuqusdeg1 35627

Description: Uniqueness of polynomial remainder in terms of a quotient structure in the sense of the right hand side of r1pid2 26215. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1peuqus.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1peuqus.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
r1peuqus.t	⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
r1peuqus.q	⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
r1peuqus.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1peuqus.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1peuqus.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1peuqus.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
r1peuqus.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
r1peuqusdeg1	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝑃,𝑞   𝐼,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑍,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem r1peuqusdeg1

Dummy variables 𝑝 𝑠 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑃 ~QG 𝐼) = (𝑃 ~QG 𝐼)
5		r1peuqus.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
6		r1peuqus.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
7		r1peuqus.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		r1peuqus.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1domn 26177	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
11		domnring 20723	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		r1peuqus.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
14		r1peuqus.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
15	8, 1, 14	uc1pcl 26197	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		r1peuqus.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)
18		r1peuqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
19	17, 18	eleqtrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16, 19	ellcsrspsn 35625	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}))
21		r1peuqus.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
22		domnring 20723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
26	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑁)
27	8, 21, 1, 2, 3, 14, 24, 25, 26	ply1divalg3 35626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
29		ovexd 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ V)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
31		eqidd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
32		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑠(.r‘𝑃)𝐹))
33	32	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
34	33	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
35	34	rspcev 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
36	30, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
37		eqeq1 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
38	37	rexbidv 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
39	29, 36, 38	elabd 3683	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
40		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
41	39, 40	eleqtrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ 𝑍)
42		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
43	42	eqimssd 4051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
44	43	sselda 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → 𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
45		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
46	45	rexbidv 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
47	33	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
48	47	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
49	46, 48	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
50	49	elabg 3676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
51	50	ibi 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
52	44, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
53		eqtr2 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
54	12	ringgrpd 20259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Grp)
56	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
57		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
58	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
59	1, 3, 56, 57, 58	ringcld 20276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
60		simpr3 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
61	1, 3, 56, 60, 58	ringcld 20276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
62		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
63	1, 2	grplcan 19030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
64	55, 59, 61, 62, 63	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
65		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
66		simplr2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
67		simplr3 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
68	8, 65, 14	uc1pn0 26199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
69	13, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
70	16, 69	eldifsnd 4791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
72	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑃 ∈ Domn)
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
74	1, 65, 3, 66, 67, 71, 72, 73	domnrcan 20739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) → 𝑠 = 𝑡))
76	64, 75	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
77	76	3exp2 1353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑡 ∈ (Base‘𝑃) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)))))
78	77	imp43 427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
79	53, 78	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
80	79	ralrimivva 3199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
81		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
82	81	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
83	82	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))))
84	83	rmo4 3738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
85	80, 84	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
86	85	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
87		reu5 3379	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
88	52, 86, 87	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
89		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝐷‘𝑞) = (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
90	89	breq1d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → ((𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
91	41, 88, 90	reuxfr1ds 3759	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
92	28, 91	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
93	92	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
94	93	reximdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
95	20, 94	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
96		id 22	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
97	96	rexlimivw 3148	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
98	95, 97	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ∃!wreu 3375  ∃*wrmo 3376  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  [cec 8741   < clt 11292  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17485   /_s cqus 17551  Grpcgrp 18963   ~_QG cqg 19152  Ringcrg 20250  Domncdomn 20708  RSpancrsp 21234  Poly₁cpl1 22193  deg₁cdg1 26107  Unic_1pcuc1p 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-cnfld 21382  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-uc1p 26185

This theorem is referenced by: (None)