Theorem r1peuqusdeg1 35694

Description: Uniqueness of polynomial remainder in terms of a quotient structure in the sense of the right hand side of r1pid2 26100. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1peuqus.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1peuqus.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
r1peuqus.t	⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
r1peuqus.q	⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
r1peuqus.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1peuqus.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1peuqus.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1peuqus.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
r1peuqus.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
r1peuqusdeg1	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝑃,𝑞   𝐼,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑍,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem r1peuqusdeg1

Dummy variables 𝑝 𝑠 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑃 ~QG 𝐼) = (𝑃 ~QG 𝐼)
5		r1peuqus.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
6		r1peuqus.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
7		r1peuqus.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		r1peuqus.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1domn 26062	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
11		domnring 20628	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		r1peuqus.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
14		r1peuqus.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
15	8, 1, 14	uc1pcl 26082	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		r1peuqus.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)
18		r1peuqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
19	17, 18	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16, 19	ellcsrspsn 35692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}))
21		r1peuqus.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
22		domnring 20628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
26	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑁)
27	8, 21, 1, 2, 3, 14, 24, 25, 26	ply1divalg3 35693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
29		ovexd 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ V)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
31		eqidd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
32		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑠(.r‘𝑃)𝐹))
33	32	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
34	33	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
35	34	rspcev 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
36	30, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
37		eqeq1 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
38	37	rexbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
39	29, 36, 38	elabd 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
40		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
41	39, 40	eleqtrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ 𝑍)
42		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
43	42	eqimssd 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
44	43	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → 𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
45		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
46	45	rexbidv 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
47	33	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
48	47	cbvrexvw 3211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
49	46, 48	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
50	49	elabg 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
51	50	ibi 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
52	44, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
53		eqtr2 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
54	12	ringgrpd 20166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Grp)
56	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
57		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
58	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
59	1, 3, 56, 57, 58	ringcld 20184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
60		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
61	1, 3, 56, 60, 58	ringcld 20184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
62		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
63	1, 2	grplcan 18919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
64	55, 59, 61, 62, 63	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
65		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
66		simplr2 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
67		simplr3 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
68	8, 65, 14	uc1pn0 26084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
69	13, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
70	16, 69	eldifsnd 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
72	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑃 ∈ Domn)
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
74	1, 65, 3, 66, 67, 71, 72, 73	domnrcan 20644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) → 𝑠 = 𝑡))
76	64, 75	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
77	76	3exp2 1355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑡 ∈ (Base‘𝑃) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)))))
78	77	imp43 427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
79	53, 78	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
80	79	ralrimivva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
81		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
82	81	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
83	82	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))))
84	83	rmo4 3684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
85	80, 84	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
86	85	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
87		reu5 3348	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
88	52, 86, 87	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
89		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝐷‘𝑞) = (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
90	89	breq1d 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → ((𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
91	41, 88, 90	reuxfr1ds 3705	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
92	28, 91	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
93	92	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
94	93	reximdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
95	20, 94	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
96		id 22	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
97	96	rexlimivw 3129	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
98	95, 97	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  {csn 4575   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  [cec 8626   < clt 11152  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  ._rcmulr 17168  0_gc0g 17349   /_s cqus 17415  Grpcgrp 18852   ~_QG cqg 19041  Ringcrg 20157  Domncdomn 20613  RSpancrsp 21150  Poly₁cpl1 22095  deg₁cdg1 25992  Unic_1pcuc1p 26065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-imas 17418  df-qus 17419  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-eqg 19044  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-nzr 20434  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-rlreg 20615  df-domn 20616  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-rsp 21152  df-cnfld 21298  df-ascl 21798  df-psr 21852  df-mvr 21853  df-mpl 21854  df-opsr 21856  df-psr1 22098  df-vr1 22099  df-ply1 22100  df-coe1 22101  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-uc1p 26070

This theorem is referenced by: (None)