Theorem r1peuqusdeg1 36588

Description: Uniqueness of polynomial remainder in terms of a quotient structure in the sense of the right hand side of r1pid2 26513. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1peuqus.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1peuqus.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
r1peuqus.t	⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
r1peuqus.q	⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
r1peuqus.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1peuqus.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1peuqus.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1peuqus.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
r1peuqus.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
r1peuqusdeg1	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝑃,𝑞   𝐼,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑍,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem r1peuqusdeg1

Dummy variables 𝑝 𝑠 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑃 ~QG 𝐼) = (𝑃 ~QG 𝐼)
5		r1peuqus.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝐼))
6		r1peuqus.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝐹})
7		r1peuqus.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		r1peuqus.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1domn 26475	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
11		domnring 20992	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		r1peuqus.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑁)
14		r1peuqus.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
15	8, 1, 14	uc1pcl 26495	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		r1peuqus.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑄)
18		r1peuqus.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Base‘𝑇)
19	17, 18	eleqtrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑇))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16, 19	ellcsrspsn 36586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}))
21		r1peuqus.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
22		domnring 20992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
23	7, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
26	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑁)
27	8, 21, 1, 2, 3, 14, 24, 25, 26	ply1divalg3 36587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹))
29		ovexd 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ V)
30		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
31		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
32		oveq1 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑠(.r‘𝑃)𝐹))
33	32	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
34	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
35	34	rspcev 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
36	30, 31, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)))
37		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
38	37	rexbidv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
39	29, 36, 38	elabd 3638	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
40		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
41	39, 40	eleqtrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∈ 𝑍)
42		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
43	42	eqimssd 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → 𝑍 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
44	43	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → 𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})
45		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
46	45	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))))
47	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
48	47	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
49	46, 48	bitrdi 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
50	49	elabg 3633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} ↔ ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
51	50	ibi 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))} → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
52	44, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
53		eqtr2 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
54	12	ringgrpd 20502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Grp)
56	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
57		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
58	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
59	1, 3, 56, 57, 58	ringcld 20517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
60		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
61	1, 3, 56, 60, 58	ringcld 20517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
62		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))
63	1, 2	grplcan 19243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
64	55, 59, 61, 62, 63	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
65		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
66		simplr2 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 ∈ (Base‘𝑃))
67		simplr3 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))
68	8, 65, 14	uc1pn0 26497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑁 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
69	13, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
70	16, 69	eldifsnd 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g‘𝑃)}))
72	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑃 ∈ Domn)
73		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
74	1, 65, 3, 66, 67, 71, 72, 73	domnrcan 21007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)
75	74	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹) → 𝑠 = 𝑡))
76	64, 75	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
77	76	3exp2 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) → (𝑡 ∈ (Base‘𝑃) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡)))))
78	77	imp43 433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)) → 𝑠 = 𝑡))
79	53, 78	syl5 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
80	79	ralrimivva 3209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
81		oveq1 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠(.r‘𝑃)𝐹) = (𝑡(.r‘𝑃)𝐹))
82	81	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹)))
83	82	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))))
84	83	rmo4 3691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ ∀𝑠 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑡 ∈ (Base‘𝑃)((𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ 𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑡(.r‘𝑃)𝐹))) → 𝑠 = 𝑡))
85	80, 84	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
86	85	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
87		reu5 3371	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ↔ (∃𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) ∧ ∃*𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
88	52, 86, 87	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) ∧ 𝑞 ∈ 𝑍) → ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)))
89		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → (𝐷‘𝑞) = (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))))
90	89	breq1d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹)) → ((𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ (𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
91	41, 88, 90	reuxfr1ds 3712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) ↔ ∃!𝑠 ∈ (Base‘𝑃)(𝐷‘(𝑝(+g‘𝑃)(𝑠(.r‘𝑃)𝐹))) < (𝐷‘𝐹)))
92	28, 91	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))})) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
93	92	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
94	93	reximdva 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)(𝑍 = [𝑝](𝑃 ~QG 𝐼) ∧ 𝑍 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑃)𝑧 = (𝑝(+g‘𝑃)(𝑦(.r‘𝑃)𝐹))}) → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹)))
95	20, 94	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
96		id 23	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
97	96	rexlimivw 3163	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (Base‘𝑃)∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹) → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))
98	95, 97	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝑍 (𝐷‘𝑞) < (𝐷‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  [cec 8746   < clt 11373  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642   /_s cqus 17709  Grpcgrp 19176   ~_QG cqg 19364  Ringcrg 20492  Domncdomn 20977  RSpancrsp 21518  Poly₁cpl1 22528  deg₁cdg1 26405  Unic_1pcuc1p 26478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-ec 8750  df-qs 8754  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-imas 17712  df-qus 17713  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-eqg 19367  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-nzr 20796  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-cnfld 21712  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-coe1 22534  df-mdeg 26406  df-deg1 26407  df-uc1p 26483

This theorem is used by: (None)