Theorem frgpupval 19844

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		ovexd 7446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5	3, 4	efger 19788	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
7	3	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		coeq2 5845	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
10	9	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))
11		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
12		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
13		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
14		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
15		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
17		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1	frgpupf 19843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
20	19	ffund 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
21	1, 2, 6, 8, 10, 20	qliftval 8804	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461  ∅c0 4292  ifcif 4490  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5194   I cid 5556   × cxp 5660  ran crn 5663   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  2_oc2o 8447   Er wer 8691  [cec 8692  Word cword 14550  Basecbs 17269   Σ_g cgsu 17493  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001   ~_FG cefg 19776  freeGrpcfrgp 19777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14787  df-s2 14885  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-frmd 18908  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-efg 19779  df-frgp 19780

This theorem is referenced by:  frgpup1  19845  frgpup2  19846  frgpup3lem  19847