MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupval 18573
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupval ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 ovexd 6956 . 2 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ V)
3 frgpup.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4 frgpup.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
53, 4efger 18515 . . 3 Er 𝑊
65a1i 11 . 2 (𝜑 Er 𝑊)
73fvexi 6460 . . 3 𝑊 ∈ V
87a1i 11 . 2 (𝜑𝑊 ∈ V)
9 coeq2 5526 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (𝑇𝑔) = (𝑇𝐴))
109oveq2d 6938 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
11 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
12 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
13 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
14 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
15 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
16 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
17 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1frgpupf 18572 . . 3 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
2019ffund 6295 . 2 (𝜑 → Fun 𝐸)
211, 2, 6, 8, 10, 20qliftval 8119 1 ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  c0 4141  ifcif 4307  cop 4404  cmpt 4965   I cid 5260   × cxp 5353  ran crn 5356  ccom 5359  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  2oc2o 7837   Er wer 8023  [cec 8024  Word cword 13599  Basecbs 16255   Σg cgsu 16487  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810   ~FG cefg 18503  freeGrpcfrgp 18504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-frmd 17773  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-efg 18506  df-frgp 18507
This theorem is referenced by:  frgpup1  18574  frgpup2  18575  frgpup3lem  18576
  Copyright terms: Public domain W3C validator