MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupval 19564
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupval ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2 ovexd 7396 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ π‘Š) β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3 frgpup.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
4 frgpup.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
53, 4efger 19508 . . 3 ∼ Er π‘Š
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
73fvexi 6860 . . 3 π‘Š ∈ V
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
9 coeq2 5818 . . 3 (𝑔 = 𝐴 β†’ (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
109oveq2d 7377 . 2 (𝑔 = 𝐴 β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝐴)))
11 frgpup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
12 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π»)
13 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
14 frgpup.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
15 frgpup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
16 frgpup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
17 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
18 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1frgpupf 19563 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘‹βŸΆπ΅)
2019ffund 6676 . 2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐸)
211, 2, 6, 8, 10, 20qliftval 8751 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  2oc2o 8410   Er wer 8651  [cec 8652  Word cword 14411  Basecbs 17091   Ξ£g cgsu 17330  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757   ~FG cefg 19496  freeGrpcfrgp 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-efg 19499  df-frgp 19500
This theorem is referenced by:  frgpup1  19565  frgpup2  19566  frgpup3lem  19567
  Copyright terms: Public domain W3C validator