Theorem frgpupval 19686

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		ovexd 7381	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5	3, 4	efger 19630	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
7	3	fvexi 6836	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		coeq2 5797	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
10	9	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))
11		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
12		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
13		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
14		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
15		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
17		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1	frgpupf 19685	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
20	19	ffund 6655	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
21	1, 2, 6, 8, 10, 20	qliftval 8730	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  ifcif 4472  ⟨cop 4579   ↦ cmpt 5170   I cid 5508   × cxp 5612  ran crn 5615   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  2_oc2o 8379   Er wer 8619  [cec 8620  Word cword 14420  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847   ~_FG cefg 19618  freeGrpcfrgp 19619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-frmd 18757  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-efg 19621  df-frgp 19622

This theorem is referenced by:  frgpup1  19687  frgpup2  19688  frgpup3lem  19689