MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupval 19723
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupval ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 ovexd 7450 . 2 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ V)
3 frgpup.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4 frgpup.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
53, 4efger 19667 . . 3 Er 𝑊
65a1i 11 . 2 (𝜑 Er 𝑊)
73fvexi 6906 . . 3 𝑊 ∈ V
87a1i 11 . 2 (𝜑𝑊 ∈ V)
9 coeq2 5856 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (𝑇𝑔) = (𝑇𝐴))
109oveq2d 7431 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
11 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
12 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
13 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
14 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
15 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
16 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
17 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1frgpupf 19722 . . 3 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
2019ffund 6721 . 2 (𝜑 → Fun 𝐸)
211, 2, 6, 8, 10, 20qliftval 8819 1 ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  c0 4319  ifcif 4525  cop 4631  cmpt 5226   I cid 5570   × cxp 5671  ran crn 5674  ccom 5677  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  cmpo 7417  2oc2o 8475   Er wer 8716  [cec 8717  Word cword 14491  Basecbs 17174   Σg cgsu 17416  Grpcgrp 18884  invgcminusg 18885   ~FG cefg 19655  freeGrpcfrgp 19656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-splice 14727  df-s2 14826  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-frmd 18795  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-efg 19658  df-frgp 19659
This theorem is referenced by:  frgpup1  19724  frgpup2  19725  frgpup3lem  19726
  Copyright terms: Public domain W3C validator