Theorem frgpupval 19760

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		ovexd 7445	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5	3, 4	efger 19704	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
7	3	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		coeq2 5843	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
10	9	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))
11		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
12		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
13		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
14		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
15		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
17		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1	frgpupf 19759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
20	19	ffund 6715	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
21	1, 2, 6, 8, 10, 20	qliftval 8825	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  ifcif 4505  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206   I cid 5552   × cxp 5657  ran crn 5660   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  2_oc2o 8479   Er wer 8721  [cec 8722  Word cword 14536  Basecbs 17233   Σ_g cgsu 17459  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922   ~_FG cefg 19692  freeGrpcfrgp 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-splice 14773  df-s2 14872  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-frmd 18832  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-efg 19695  df-frgp 19696

This theorem is referenced by:  frgpup1  19761  frgpup2  19762  frgpup3lem  19763