Theorem frgpupval 19295

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		ovexd 7290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5	3, 4	efger 19239	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
7	3	fvexi 6770	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		coeq2 5756	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
10	9	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))
11		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
12		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
13		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
14		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
15		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
17		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1	frgpupf 19294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
20	19	ffund 6588	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
21	1, 2, 6, 8, 10, 20	qliftval 8553	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ifcif 4456  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   × cxp 5578  ran crn 5581   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  2_oc2o 8261   Er wer 8453  [cec 8454  Word cword 14145  Basecbs 16840   Σ_g cgsu 17068  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493   ~_FG cefg 19227  freeGrpcfrgp 19228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-frmd 18403  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-efg 19230  df-frgp 19231

This theorem is referenced by:  frgpup1  19296  frgpup2  19297  frgpup3lem  19298