Theorem frgpupval 19807

Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpupval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
2		ovexd 7466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) ∈ V)
3		frgpup.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		frgpup.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5	3, 4	efger 19751	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
7	3	fvexi 6921	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
9		coeq2 5872	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝑇 ∘ 𝑔) = (𝑇 ∘ 𝐴))
10	9	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))
11		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
12		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
13		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
14		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
15		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
17		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 3, 4, 17, 18, 1	frgpupf 19806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝐵)
20	19	ffund 6741	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
21	1, 2, 6, 8, 10, 20	qliftval 8845	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ifcif 4531  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  2_oc2o 8499   Er wer 8741  [cec 8742  Word cword 14549  Basecbs 17245   Σ_g cgsu 17487  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965   ~_FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-efg 19742  df-frgp 19743

This theorem is referenced by:  frgpup1  19808  frgpup2  19809  frgpup3lem  19810