Theorem evls1scafv 32638

Description: Value of the univariate polynomial evaluation for scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1scafv.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scafv.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1scafv.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1scafv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scafv.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scafv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1scafv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scafv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
evls1scafv.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1scafv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐶) = 𝑋)

Proof of Theorem evls1scafv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1scafv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1scafv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
3		evls1scafv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evls1scafv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evls1scafv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
6		evls1scafv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1scafv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1scafv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	evls1sca 21841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
10	9	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐶) = ((𝐵 × {𝑋})‘𝐶))
11		evls1scafv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		fvconst2g 7202	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑋})‘𝐶) = 𝑋)
13	8, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋})‘𝐶) = 𝑋)
14	10, 13	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐶) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  CRingccrg 20056  SubRingcsubrg 20314  algSccascl 21406  Poly₁cpl1 21700   evalSub₁ ces1 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-assa 21407  df-asp 21408  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-evls 21634  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-evls1 21833

This theorem is referenced by:  evls1fpws  32641  evls1maprhm  32754  ply1annnr  32759