Theorem evl1scad 21854

Description: Polynomial evaluation builder for scalars. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evl1scad.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1scad.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1scad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1scad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1scad	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem evl1scad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1scad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20068	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		evl1scad.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 21807	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
8	1, 2, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
9		evl1scad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	8, 9	ffvelcdmd 7088	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈)
11		evl1sca.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12	11, 3, 5, 4	evl1sca 21853	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
13	1, 9, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
14	13	fveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌))
15		evl1scad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		fvconst2g 7203	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
17	9, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
18	14, 17	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋)
19	10, 18	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  algSccascl 21407  Poly₁cpl1 21701  eval₁ce1 21833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-evl 21636  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-evl1 21835

This theorem is referenced by:  evl1vsd  21863  evl1gsumd  21876  ply1remlem  25680  lgsqrlem1  26849  idomrootle  41937  evl1at0  47072  evl1at1  47073  lineval  47075