MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1scad 20185
Description: Polynomial evaluation builder for scalars. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evl1scad.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1scad.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1scad.2 (𝜑𝑋𝐵)
evl1scad.3 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
evl1scad (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem evl1scad
StepHypRef Expression
1 evl1scad.1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 19003 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 evl1sca.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evl1sca.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 evl1scad.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
73, 4, 5, 6ply1sclf 20141 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵𝑈)
81, 2, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐴:𝐵𝑈)
9 evl1scad.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
108, 9ffvelrnd 6722 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ 𝑈)
11 evl1sca.o . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑅)
1211, 3, 5, 4evl1sca 20184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
131, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
1413fveq1d 6545 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝑋))‘𝑌) = ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌))
15 evl1scad.3 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
16 fvconst2g 6836 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
179, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
1814, 17eqtrd 2831 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝑋))‘𝑌) = 𝑋)
1910, 18jca 512 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑋))‘𝑌) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  {csn 4476   × cxp 5446  wf 6226  cfv 6230  Basecbs 16317  Ringcrg 18992  CRingccrg 18993  algSccascl 19778  Poly1cpl1 20033  eval1ce1 20165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-ofr 7273  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-hash 13546  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-prds 16555  df-pws 16557  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-mulg 17987  df-subg 18035  df-ghm 18102  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-srg 18951  df-ring 18994  df-cring 18995  df-rnghom 19162  df-subrg 19228  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-assa 19779  df-asp 19780  df-ascl 19781  df-psr 19829  df-mvr 19830  df-mpl 19831  df-opsr 19833  df-evls 19978  df-evl 19979  df-psr1 20036  df-ply1 20038  df-evl1 20167
This theorem is referenced by:  evl1vsd  20194  evl1gsumd  20207  ply1remlem  24444  lgsqrlem1  25609  idomrootle  39306  evl1at0  43952  evl1at1  43953  lineval  43955
  Copyright terms: Public domain W3C validator