Theorem evl1scad 21411

Description: Polynomial evaluation builder for scalars. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evl1scad.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1scad.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1scad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1scad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1scad	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem evl1scad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1scad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 19710	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		evl1scad.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 21366	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
8	1, 2, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
9		evl1scad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	8, 9	ffvelrnd 6944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈)
11		evl1sca.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12	11, 3, 5, 4	evl1sca 21410	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
13	1, 9, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
14	13	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌))
15		evl1scad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		fvconst2g 7059	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
17	9, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
18	14, 17	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋)
19	10, 18	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  algSccascl 20969  Poly₁cpl1 21258  eval₁ce1 21390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-evl 21193  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evl1 21392

This theorem is referenced by:  evl1vsd  21420  evl1gsumd  21433  ply1remlem  25232  lgsqrlem1  26399  idomrootle  40936  evl1at0  45620  evl1at1  45621  lineval  45623