Theorem evl1scad 20185

Description: Polynomial evaluation builder for scalars. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evl1scad.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1scad.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1scad.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evl1scad.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1scad	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem evl1scad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1scad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 19003	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		evl1scad.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 20141	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
8	1, 2, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐵⟶𝑈)
9		evl1scad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	8, 9	ffvelrnd 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈)
11		evl1sca.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12	11, 3, 5, 4	evl1sca 20184	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
13	1, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
14	13	fveq1d 6545	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌))
15		evl1scad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		fvconst2g 6836	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
18	14, 17	eqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋)
19	10, 18	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝑋))‘𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {csn 4476   × cxp 5446  ⟶wf 6226  ‘cfv 6230  Basecbs 16317  Ringcrg 18992  CRingccrg 18993  algSccascl 19778  Poly₁cpl1 20033  eval₁ce1 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-ofr 7273  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-hash 13546  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-prds 16555  df-pws 16557  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-mulg 17987  df-subg 18035  df-ghm 18102  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-srg 18951  df-ring 18994  df-cring 18995  df-rnghom 19162  df-subrg 19228  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-assa 19779  df-asp 19780  df-ascl 19781  df-psr 19829  df-mvr 19830  df-mpl 19831  df-opsr 19833  df-evls 19978  df-evl 19979  df-psr1 20036  df-ply1 20038  df-evl1 20167

This theorem is referenced by:  evl1vsd  20194  evl1gsumd  20207  ply1remlem  24444  lgsqrlem1  25609  idomrootle  39306  evl1at0  43952  evl1at1  43953  lineval  43955