MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl1eudis Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ehl1eudis 25269
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl1eudis.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜1)
ehl1eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
ehl1eudis 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem ehl1eudis
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12484 . . 3 1 ∈ β„•0
2 1z 12588 . . . . . 6 1 ∈ β„€
3 fzsn 13539 . . . . . 6 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
54eqcomi 2733 . . . 4 {1} = (1...1)
6 ehl1eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hilβ€˜1)
7 ehl1eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8 ehl1eudis.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
95, 6, 7, 8ehleudis 25267 . . 3 (1 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
101, 9ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
117eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ 𝑋 ↔ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}))
12 reex 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
13 snex 5421 . . . . . . . . . . . . 13 {1} ∈ V
1412, 13elmap 8860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
1511, 14bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝑋 ↔ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
17 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
1817snid 4656 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1}
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ {1})
2016, 19ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
2115, 20sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝑋 β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
237eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ 𝑋 ↔ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}))
2412, 13elmap 8860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
2523, 24bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ 𝑋 ↔ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ {1})
2826, 27ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
2925, 28sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝑋 β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
3122, 30resubcld 11638 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1)) ∈ ℝ)
3231resqcld 14086 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ ℝ)
3332recnd 11238 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ β„‚)
34 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜1))
35 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘”β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜1))
3634, 35oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1)))
3736oveq1d 7416 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
3837sumsn 15688 . . . . . 6 ((1 ∈ β„€ ∧ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
392, 33, 38sylancr 586 . . . . 5 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
4039fveq2d 6885 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2)))
4131absred 15359 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))) = (βˆšβ€˜(((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2)))
4240, 41eqtr4d 2767 . . 3 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
4342mpoeq3ia 7479 . 2 (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
4410, 43eqtri 2752 1 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4620  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   ↑m cmap 8815  β„‚cc 11103  β„cr 11104  1c1 11106   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  abscabs 15177  Ξ£csu 15628  distcds 17204  π”Όhilcehl 25233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20578  df-field 20579  df-staf 20677  df-srng 20678  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-cnfld 21228  df-refld 21465  df-dsmm 21594  df-frlm 21609  df-nm 24412  df-tng 24414  df-tcph 25018  df-rrx 25234  df-ehl 25235
This theorem is referenced by:  ehl1eudisval  25270
  Copyright terms: Public domain W3C validator