MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl1eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl1eudis 24027
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl1eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘1)
ehl1eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl1eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl1eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11910 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 1z 12009 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3 fzsn 12953 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
54eqcomi 2833 . . . 4 {1} = (1...1)
6 ehl1eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘1)
7 ehl1eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8 ehl1eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
95, 6, 7, 8ehleudis 24025 . . 3 (1 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
101, 9ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
117eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}))
12 reex 10626 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
13 snex 5319 . . . . . . . . . . . . 13 {1} ∈ V
1412, 13elmap 8431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑓:{1}⟶ℝ)
1511, 14bitri 278 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1}⟶ℝ)
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}⟶ℝ → 𝑓:{1}⟶ℝ)
17 1ex 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
1817snid 4586 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1}
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}⟶ℝ → 1 ∈ {1})
2016, 19ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2115, 20sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
237eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}))
2412, 13elmap 8431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑔:{1}⟶ℝ)
2523, 24bitri 278 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1}⟶ℝ)
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}⟶ℝ → 𝑔:{1}⟶ℝ)
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}⟶ℝ → 1 ∈ {1})
2826, 27ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
2925, 28sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3029adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3122, 30resubcld 11066 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3231resqcld 13616 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3332recnd 10667 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
34 fveq2 6661 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
35 fveq2 6661 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
3634, 35oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
3736oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
3837sumsn 15101 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
392, 33, 38sylancr 590 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
4039fveq2d 6665 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))
4131absred 14776 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))) = (√‘(((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))
4240, 41eqtr4d 2862 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
4342mpoeq3ia 7225 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
4410, 43eqtri 2847 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4550  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  m cmap 8402  cc 10533  cr 10534  1c1 10536  cmin 10868  2c2 11689  0cn0 11894  cz 11978  ...cfz 12894  cexp 13434  csqrt 14592  abscabs 14593  Σcsu 15042  distcds 16574  𝔼hilcehl 23991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19504  df-field 19505  df-subrg 19533  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23777  df-rrx 23992  df-ehl 23993
This theorem is referenced by:  ehl1eudisval  24028
  Copyright terms: Public domain W3C validator