MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl1eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl1eudis 25454
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl1eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘1)
ehl1eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl1eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl1eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 1z 12647 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3 fzsn 13606 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
54eqcomi 2746 . . . 4 {1} = (1...1)
6 ehl1eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘1)
7 ehl1eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8 ehl1eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
95, 6, 7, 8ehleudis 25452 . . 3 (1 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
101, 9ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
117eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}))
12 reex 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
13 snex 5436 . . . . . . . . . . . . 13 {1} ∈ V
1412, 13elmap 8911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑓:{1}⟶ℝ)
1511, 14bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1}⟶ℝ)
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}⟶ℝ → 𝑓:{1}⟶ℝ)
17 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
1817snid 4662 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1}
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}⟶ℝ → 1 ∈ {1})
2016, 19ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2115, 20sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
237eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}))
2412, 13elmap 8911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑔:{1}⟶ℝ)
2523, 24bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1}⟶ℝ)
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}⟶ℝ → 𝑔:{1}⟶ℝ)
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}⟶ℝ → 1 ∈ {1})
2826, 27ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
2925, 28sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3122, 30resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3231resqcld 14165 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3332recnd 11289 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
34 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
3634, 35oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
3736oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
3837sumsn 15782 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
392, 33, 38sylancr 587 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
4039fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))
4131absred 15455 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))) = (√‘(((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))
4240, 41eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
4342mpoeq3ia 7511 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
4410, 43eqtri 2765 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (abs‘((𝑓‘1) − (𝑔‘1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  cmin 11492  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15722  distcds 17306  𝔼hilcehl 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-ehl 25420
This theorem is referenced by:  ehl1eudisval  25455
  Copyright terms: Public domain W3C validator