MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl1eudis Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ehl1eudis 24929
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl1eudis.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜1)
ehl1eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
ehl1eudis 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem ehl1eudis
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12485 . . 3 1 ∈ β„•0
2 1z 12589 . . . . . 6 1 ∈ β„€
3 fzsn 13540 . . . . . 6 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
54eqcomi 2742 . . . 4 {1} = (1...1)
6 ehl1eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hilβ€˜1)
7 ehl1eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8 ehl1eudis.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
95, 6, 7, 8ehleudis 24927 . . 3 (1 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
101, 9ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
117eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ 𝑋 ↔ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}))
12 reex 11198 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
13 snex 5431 . . . . . . . . . . . . 13 {1} ∈ V
1412, 13elmap 8862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
1511, 14bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ 𝑋 ↔ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ 𝑓:{1}βŸΆβ„)
17 1ex 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
1817snid 4664 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1}
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ {1})
2016, 19ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1}βŸΆβ„ β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
2115, 20sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝑋 β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜1) ∈ ℝ)
237eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ 𝑋 ↔ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}))
2412, 13elmap 8862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1}) ↔ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
2523, 24bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ 𝑋 ↔ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ 𝑔:{1}βŸΆβ„)
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ {1})
2826, 27ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1}βŸΆβ„ β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
2925, 28sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝑋 β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
3029adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜1) ∈ ℝ)
3122, 30resubcld 11639 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1)) ∈ ℝ)
3231resqcld 14087 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ ℝ)
3332recnd 11239 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ β„‚)
34 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜1))
35 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘”β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜1))
3634, 35oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1)))
3736oveq1d 7421 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
3837sumsn 15689 . . . . . 6 ((1 ∈ β„€ ∧ (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
392, 33, 38sylancr 588 . . . . 5 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2))
4039fveq2d 6893 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜(((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2)))
4131absred 15360 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))) = (βˆšβ€˜(((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))↑2)))
4240, 41eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)) = (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
4342mpoeq3ia 7484 . 2 (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ {1} (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
4410, 43eqtri 2761 1 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜1) βˆ’ (π‘”β€˜1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4628  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑m cmap 8817  β„‚cc 11105  β„cr 11106  1c1 11108   βˆ’ cmin 11441  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  ...cfz 13481  β†‘cexp 14024  βˆšcsqrt 15177  abscabs 15178  Ξ£csu 15629  distcds 17203  π”Όhilcehl 24893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-staf 20446  df-srng 20447  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-cnfld 20938  df-refld 21150  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-nm 24083  df-tng 24085  df-tcph 24678  df-rrx 24894  df-ehl 24895
This theorem is referenced by:  ehl1eudisval  24930
  Copyright terms: Public domain W3C validator