Theorem idomnzd 49248

Description: A domain has no zero-divisors (besides zero). (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idomnzd	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem idomnzd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isidom3.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isidom3 49247	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ (1r‘𝑅) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
6	5	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
7		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8	7	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑏) = 0 ))
9		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
10	9	orbi1d 930	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
11	8, 10	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
12		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
13	12	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
14		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))
15	14	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
16	13, 15	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))))
17	11, 16	rspc2v 3590	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))))
18	6, 17	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))))
19	18	expd 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))))
20	19	3imp2 1368	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  CRingccrg 20374  IDomncidom 20856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-nzr 20674  df-subrg 20733  df-domn 20858  df-idom 20859  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-prmidl 21525  df-prmring 49237

This theorem is used by:  idomcanl  49249