Theorem idomcanl 49647

Description: Cancellation law for domains. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idomcanl	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem idomcanl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isidom3.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
4		isidom 21003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5		crngring 20499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11	ringsubdi 20565	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
14	13	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
15	7	ringgrpd 20496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 3	grpsubcl 19256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
18	15, 17	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
20		isidom3.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1, 2, 20	idomnzd 49646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
22	21	3exp2 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))))
23	22	imp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
24	19, 23	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
25	24	exp43 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))))))
26	25	3imp2 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
27		neor 3051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
28	26, 27	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
29	28	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 0 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
30	29	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
31	14, 30	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
32	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 2, 8, 9, 10	ringcld 20511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	1, 2, 8, 9, 11	ringcld 20511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
35	1, 20, 3	grpsubeq0 19262	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
36	35	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
37	32, 33, 34, 36	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
38	37	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
39	1, 20, 3	grpsubeq0 19262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑍))
40	39	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
41	40	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
42	15, 41	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
43	42	3adantr1 1188	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
44	43	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
45	31, 38, 44	3imtr4d 297	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  -_gcsg 19172  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  Domncdomn 20971  IDomncidom 20972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-domn 20974  df-idom 20975  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514  df-2idl 21570  df-prmidl 21644  df-prmring 49635

This theorem is used by:  idomcanr  49648