Theorem idomcanl 49265

Description: Cancellation law for domains. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idomcanl	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem idomcanl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isidom3.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
4		isidom 20889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5		crngring 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11	ringsubdi 20452	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
14	13	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
15	7	ringgrpd 20384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 3	grpsubcl 19146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
18	15, 17	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
20		isidom3.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1, 2, 20	idomnzd 49264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
22	21	3exp2 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))))
23	22	imp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
24	19, 23	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
25	24	exp43 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))))))
26	25	3imp2 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
27		neor 3047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
28	26, 27	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
29	28	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 0 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
30	29	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
31	14, 30	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
32	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 2, 8, 9, 10	ringcld 20399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	1, 2, 8, 9, 11	ringcld 20399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
35	1, 20, 3	grpsubeq0 19152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
36	35	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
37	32, 33, 34, 36	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
38	37	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
39	1, 20, 3	grpsubeq0 19152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑍))
40	39	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
41	40	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
42	15, 41	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
43	42	3adantr1 1188	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
44	43	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
45	31, 38, 44	3imtr4d 297	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527  Grpcgrp 19060  -_gcsg 19062  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376  Domncdomn 20857  IDomncidom 20858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-nzr 20676  df-subrg 20735  df-domn 20860  df-idom 20861  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-rsp 21399  df-2idl 21455  df-prmidl 21527  df-prmring 49253

This theorem is used by:  idomcanr  49266