Theorem idomcanl 49057

Description: Cancellation law for domains. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idomcanl	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem idomcanl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isidom3.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
4		isidom 20808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5		crngring 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr1 1211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11	ringsubdi 20389	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
14	13	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
15	7	ringgrpd 20323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 3	grpsubcl 19085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
18	15, 17	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
20		isidom3.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1, 2, 20	idomnzd 49056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
22	21	3exp2 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))))
23	22	imp31 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
24	19, 23	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
25	24	exp43 441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))))))
26	25	3imp2 1366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
27		neor 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
28	26, 27	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
29	28	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 0 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
30	29	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
31	14, 30	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
32	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 2, 8, 9, 10	ringcld 20341	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	1, 2, 8, 9, 11	ringcld 20341	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
35	1, 20, 3	grpsubeq0 19091	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
36	35	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
37	32, 33, 34, 36	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
38	37	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
39	1, 20, 3	grpsubeq0 19091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑍))
40	39	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
41	40	3expb 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
42	15, 41	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
43	42	3adantr1 1186	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
44	43	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
45	31, 38, 44	3imtr4d 297	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  -_gcsg 19001  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  Domncdomn 20776  IDomncidom 20777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-nzr 20595  df-subrg 20654  df-domn 20779  df-idom 20780  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-prmidl 21440  df-prmring 49045

This theorem is referenced by:  idomcanr  49058