Theorem idomcanl 49140

Description: Cancellation law for domains. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idomcanl	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem idomcanl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isidom3.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
4		isidom 20834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5		crngring 20333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr1 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11	ringsubdi 20397	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)))
14	13	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
15	7	ringgrpd 20330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 3	grpsubcl 19092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
18	15, 17	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵)
20		isidom3.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1, 2, 20	idomnzd 49139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 )) → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
22	21	3exp2 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))))
23	22	imp31 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
24	19, 23	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
25	24	exp43 441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑍 ∈ 𝐵 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))))))
26	25	3imp2 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
27		neor 3049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
28	26, 27	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑋 ≠ 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
29	28	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 0 → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 )))
30	29	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · (𝑌(-g‘𝑅)𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
31	14, 30	sylbird 263	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 → (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
32	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 2, 8, 9, 10	ringcld 20345	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
34	1, 2, 8, 9, 11	ringcld 20345	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
35	1, 20, 3	grpsubeq0 19098	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
36	35	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
37	32, 33, 34, 36	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
38	37	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑅)(𝑋 · 𝑍)) = 0 ))
39	1, 20, 3	grpsubeq0 19098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑍))
40	39	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
41	40	3expb 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
42	15, 41	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
43	42	3adantr1 1187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
44	43	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑌(-g‘𝑅)𝑍) = 0 ))
45	31, 38, 44	3imtr4d 297	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  -_gcsg 19008  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  Domncdomn 20802  IDomncidom 20803

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-nzr 20621  df-subrg 20680  df-domn 20805  df-idom 20806  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-prmidl 21472  df-prmring 49128

This theorem is used by:  idomcanr  49141