Theorem isidom3 49055

Description: The predicate "is a domain", alternate expression. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isidom3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isidom3	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   1 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isidom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom2 49054	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	2, 3	isprmrng 49046	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
5		isidom3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isidom3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	isprmidlc 21451	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
8		crngring 20326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))))
10		3anass 1109	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	11, 2	2idl0 21378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
14	13	2idllidld 21372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	14	biantrurd 541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))))))
16		isidom3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	5, 16	ringidcl 20347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ { 0 } ↔ 1 ∈ 𝐵))
19		elsni 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
20	19	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
21	18, 20	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
22	17, 21	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 → 0 = 1 ))
23	5, 2, 16	0ring01eqbi 20616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))
24		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
25	23, 24	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 0 = 1 ))
26	5, 2	ring0cl 20349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
27		en1eqsn 9234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
28	27	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } = 𝐵)
29	28	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
31	25, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → { 0 } = 𝐵))
32	22, 31	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
34	33	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ≠ 𝐵 ↔ 0 ≠ 1 ))
35		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 )
37		velsn 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
38		velsn 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
39	37, 38	orbi12i 927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))
40	36, 39	imbi12i 353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
42	41	2ralbidv 3227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
43	34, 42	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
44	15, 43	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
45	10, 44	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
46	7, 9, 45	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
47	4, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ PrmRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
48	47	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
49		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing))
50		3anass 1109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
51	48, 49, 50	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
52	1, 51	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445   ≈ cen 8939  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  IDomncidom 20777  LIdealclidl 21309  2Idealc2idl 21367  PrmIdealcprmidl 21439  PrmRingcprmrng 49044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-nzr 20595  df-subrg 20654  df-domn 20779  df-idom 20780  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-prmidl 21440  df-prmring 49045

This theorem is referenced by:  idomnzd  49056