Theorem isidom3 49138

Description: The predicate "is a domain", alternate expression. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isidom3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isidom3	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   1 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem isidom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom2 49137	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	2, 3	isprmrng 49129	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
5		isidom3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isidom3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	isprmidlc 21483	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
8		crngring 20333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))))
10		3anass 1110	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	11, 2	2idl0 21410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
14	13	2idllidld 21404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	14	biantrurd 541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))))))
16		isidom3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	5, 16	ringidcl 20355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ { 0 } ↔ 1 ∈ 𝐵))
19		elsni 4605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
20	19	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
21	18, 20	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
22	17, 21	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 → 0 = 1 ))
23	5, 2, 16	0ring01eqbi 20642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))
24		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
25	23, 24	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 0 = 1 ))
26	5, 2	ring0cl 20357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
27		en1eqsn 9233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
28	27	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } = 𝐵)
29	28	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
31	25, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → { 0 } = 𝐵))
32	22, 31	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
34	33	necon3bid 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ≠ 𝐵 ↔ 0 ≠ 1 ))
35		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 )
37		velsn 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
38		velsn 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
39	37, 38	orbi12i 927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))
40	36, 39	imbi12i 353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
42	41	2ralbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
43	34, 42	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
44	15, 43	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
45	10, 44	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
46	7, 9, 45	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
47	4, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ PrmRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
48	47	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
49		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing))
50		3anass 1110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
51	48, 49, 50	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
52	1, 51	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444   ≈ cen 8938  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  IDomncidom 20803  LIdealclidl 21341  2Idealc2idl 21399  PrmIdealcprmidl 21471  PrmRingcprmrng 49127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-nzr 20621  df-subrg 20680  df-domn 20805  df-idom 20806  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-prmidl 21472  df-prmring 49128

This theorem is used by:  idomnzd  49139