Theorem isidom3 49645

Description: The predicate "is a domain", alternate expression. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isidom3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isidom3	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   1 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem isidom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom2 49644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	2, 3	isprmrng 49636	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
5		isidom3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isidom3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	isprmidlc 21655	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
8		crngring 20499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	biantrurd 542	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))))
10		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	11, 2	2idl0 21581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
14	13	2idllidld 21574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	14	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))))))
16		isidom3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	5, 16	ringidcl 20521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ { 0 } ↔ 1 ∈ 𝐵))
19		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
20	19	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
21	18, 20	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
22	17, 21	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 → 0 = 1 ))
23	5, 2, 16	0ring01eqbi 20811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))
24		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
25	23, 24	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 0 = 1 ))
26	5, 2	ring0cl 20523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
27		en1eqsn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
28	27	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } = 𝐵)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
31	25, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → { 0 } = 𝐵))
32	22, 31	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
34	33	necon3bid 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ≠ 𝐵 ↔ 0 ≠ 1 ))
35		ovex 7473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 )
37		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
38		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
39	37, 38	orbi12i 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))
40	36, 39	imbi12i 353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
42	41	2ralbidv 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
43	34, 42	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
44	15, 43	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
45	10, 44	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
46	7, 9, 45	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
47	4, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ PrmRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
48	47	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
49		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing))
50		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
51	48, 49, 50	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
52	1, 51	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494   ≈ cen 8995  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  IDomncidom 20972  LIdealclidl 21511  2Idealc2idl 21569  PrmIdealcprmidl 21643  PrmRingcprmrng 49634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-domn 20974  df-idom 20975  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514  df-2idl 21570  df-prmidl 21644  df-prmring 49635

This theorem is used by:  idomnzd  49646