Theorem isidom3 49358

Description: The predicate "is a domain", alternate expression. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isidom3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isidom3	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   1 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem isidom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom2 49357	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	2, 3	isprmrng 49349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
5		isidom3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isidom3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	isprmidlc 21575	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
8		crngring 20419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	biantrurd 542	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))))
10		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	11, 2	2idl0 21501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
14	13	2idllidld 21494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	14	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))))))
16		isidom3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	5, 16	ringidcl 20441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ { 0 } ↔ 1 ∈ 𝐵))
19		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
20	19	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
21	18, 20	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
22	17, 21	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 → 0 = 1 ))
23	5, 2, 16	0ring01eqbi 20731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))
24		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
25	23, 24	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 0 = 1 ))
26	5, 2	ring0cl 20443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
27		en1eqsn 9245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
28	27	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } = 𝐵)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
31	25, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → { 0 } = 𝐵))
32	22, 31	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
34	33	necon3bid 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ≠ 𝐵 ↔ 0 ≠ 1 ))
35		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 )
37		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
38		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
39	37, 38	orbi12i 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))
40	36, 39	imbi12i 353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
42	41	2ralbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
43	34, 42	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
44	15, 43	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
45	10, 44	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
46	7, 9, 45	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
47	4, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ PrmRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
48	47	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
49		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing))
50		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
51	48, 49, 50	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
52	1, 51	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1_oc1o 8448   ≈ cen 8949  Basecbs 17334  ._rcmulr 17376  0_gc0g 17557  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407  IDomncidom 20892  LIdealclidl 21431  2Idealc2idl 21489  PrmIdealcprmidl 21563  PrmRingcprmrng 49347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-nzr 20710  df-subrg 20769  df-domn 20894  df-idom 20895  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-lidl 21433  df-rsp 21434  df-2idl 21490  df-prmidl 21564  df-prmring 49348

This theorem is used by:  idomnzd  49359