Theorem isidom3 49442

Description: The predicate "is a domain", alternate expression. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isidom3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isidom3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isidom3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isidom3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isidom3	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   1 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem isidom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom2 49441	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isidom3.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	2, 3	isprmrng 49433	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
5		isidom3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isidom3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	isprmidlc 21628	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
8		crngring 20472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	biantrurd 542	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))))
10		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	11, 2	2idl0 21554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (2Ideal‘𝑅))
14	13	2idllidld 21547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	14	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))))))
16		isidom3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	5, 16	ringidcl 20494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ { 0 } ↔ 1 ∈ 𝐵))
19		elsni 4600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 1 = 0 )
20	19	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 ∈ { 0 } → 0 = 1 )
21	18, 20	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐵 → 0 = 1 ))
22	17, 21	syl5com 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 → 0 = 1 ))
23	5, 2, 16	0ring01eqbi 20784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 1 = 0 ))
24		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 1 = 0 ↔ 0 = 1 )
25	23, 24	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o ↔ 0 = 1 ))
26	5, 2	ring0cl 20496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
27		en1eqsn 9266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
28	27	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } = 𝐵)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
30	26, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1o → { 0 } = 𝐵))
31	25, 30	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → { 0 } = 𝐵))
32	22, 31	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } = 𝐵 ↔ 0 = 1 ))
34	33	necon3bid 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ≠ 𝐵 ↔ 0 ≠ 1 ))
35		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 · 𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 )
37		velsn 4599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
38		velsn 4599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
39	37, 38	orbi12i 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))
40	36, 39	imbi12i 353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
42	41	2ralbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
43	34, 42	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
44	15, 43	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ({ 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 })))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
45	10, 44	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ { 0 } → (𝑎 ∈ { 0 } ∨ 𝑏 ∈ { 0 }))) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
46	7, 9, 45	3bitr3d 312	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
47	4, 46	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ PrmRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
48	47	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
49		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ PrmRing))
50		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )))))
51	48, 49, 50	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ PrmRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
52	1, 51	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {csn 4583   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ≈ cen 8970  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  IDomncidom 20945  LIdealclidl 21484  2Idealc2idl 21542  PrmIdealcprmidl 21616  PrmRingcprmrng 49431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-nzr 20763  df-subrg 20822  df-domn 20947  df-idom 20948  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-prmidl 21617  df-prmring 49432

This theorem is used by:  idomnzd  49443