Theorem imasdsf1o 23610

Description: The distance function is transferred across an image structure under a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasdsf1o.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasdsf1o.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasdsf1o.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasdsf1o.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasdsf1o.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasdsf1o.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasdsf1o.m	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasdsf1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
imasdsf1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasdsf1o	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐷(𝐹‘𝑌)) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem imasdsf1o

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasdsf1o.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasdsf1o.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasdsf1o.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasdsf1o.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasdsf1o.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
6		imasdsf1o.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
7		imasdsf1o.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
8		imasdsf1o.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		imasdsf1o.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
11		eqid 2737	. 2 ⊢ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = (𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = (𝐹‘𝑌) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} = {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = (𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = (𝐹‘𝑌) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))}
12		eqid 2737	. 2 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = (𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = (𝐹‘𝑌) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = (𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = (𝐹‘𝑌) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔)))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	imasdsf1olem 23609	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐷(𝐹‘𝑌)) = (𝑋𝐸𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062  {crab 3404   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ∪ ciun 4937   ↦ cmpt 5170   × cxp 5606  ran crn 5609   ↾ cres 5610   ∘ ccom 5612  –1-1-onto→wf1o 6465  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  1^st c1st 7876  2^nd c2nd 7877   ↑_m cmap 8665  1c1 10952   + caddc 10954  -∞cmnf 11087  ℝ^*cxr 11088   − cmin 11285  ℕcn 12053  ...cfz 13319  Basecbs 16989   ↾_s cress 17018  distcds 17048   Σ_g cgsu 17228  ℝ^*_𝑠cxrs 17288   “_s cimas 17292  ∞Metcxmet 20665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-seq 13802  df-hash 14125  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-xrs 17290  df-imas 17296  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-mulg 18777  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-xmet 20673

This theorem is referenced by:  imasf1oxmet  23611  imasf1omet  23612  xpsdsval  23617  imasf1obl  23727