Theorem itgitg2 25850

Description: Transfer an integral using ∫₂ to an equivalent integral using ∫. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgitg2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
itgitg2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
itgitg2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgitg2	⊢ (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem itgitg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgitg2.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		itgitg2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
3		itgitg2.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	itgposval 25839	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0))))
5		iftrue 4542	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0) = 𝐴)
6	5	mpteq2ia 5259	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
7	6	fveq2i 6908	. 2 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
8	4, 7	eqtrdi 2785	1 ⊢ (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ifcif 4536   class class class wbr 5156   ↦ cmpt 5239  ‘cfv 6558  ℝcr 11164  0cc0 11165   ≤ cle 11306  ∫₂citg2 25659  𝐿¹cibl 25660  ∫citg 25661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-inf2 9691  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243  ax-addf 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-disj 5124  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8742  df-map 8865  df-pm 8866  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-sup 9492  df-inf 9493  df-oi 9560  df-dju 9951  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-q 12995  df-rp 13039  df-xadd 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13692  df-fl 13823  df-mod 13901  df-seq 14033  df-exp 14093  df-hash 14360  df-cj 15125  df-re 15126  df-im 15127  df-sqrt 15261  df-abs 15262  df-clim 15511  df-sum 15712  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25507  df-vol 25508  df-mbf 25662  df-itg1 25663  df-itg2 25664  df-ibl 25665  df-itg 25666  df-0p 25713

This theorem is referenced by:  itgitg1  25852