MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgitg2 24401
Description: Transfer an integral using 2 to an equivalent integral using . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgitg2.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
itgitg2.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
itgitg2.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgitg2 (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem itgitg2
StepHypRef Expression
1 itgitg2.1 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 itgitg2.3 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
3 itgitg2.2 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3itgposval 24390 . 2 (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0))))
5 iftrue 4454 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0) = 𝐴)
65mpteq2ia 5140 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
76fveq2i 6656 . 2 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝐴, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
84, 7syl6eq 2875 1 (𝜑 → ∫ℝ𝐴 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4448   class class class wbr 5049  cmpt 5129  cfv 6338  cr 10523  0cc0 10524  cle 10663  2citg2 24211  𝐿1cibl 24212  citg 24213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602  ax-addf 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-disj 5015  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-xmet 20526  df-met 20527  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-itg1 24215  df-itg2 24216  df-ibl 24217  df-itg 24218  df-0p 24265
This theorem is referenced by:  itgitg1  24403
  Copyright terms: Public domain W3C validator