Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2g 39965
Description: Lemma for lclkr 39985. Comparable hyperplanes are equal, so the kernel of the sum is closed. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2f.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q 𝑄 = (0g𝑆)
lclkrlem2f.z 0 = (0g𝑈)
lclkrlem2f.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2f.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2f.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2f.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2f.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
lclkrlem2f.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.ne (𝜑 → (𝐿𝐸) ≠ (𝐿𝐺))
lclkrlem2f.lp (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2g (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2g
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2f.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrlem2f.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrlem2f.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2f.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lclkrlem2f.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6 lclkrlem2f.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑆)
7 lclkrlem2f.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 lclkrlem2f.a . . . . 5 = (LSSum‘𝑈)
9 lclkrlem2f.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 lclkrlem2f.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 lclkrlem2f.j . . . . 5 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
12 lclkrlem2f.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13 lclkrlem2f.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14 lclkrlem2f.p . . . . 5 + = (+g𝐷)
15 lclkrlem2f.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 lclkrlem2f.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17 lclkrlem2f.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
18 lclkrlem2f.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
19 lclkrlem2f.le . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
20 lclkrlem2f.lg . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
21 lclkrlem2f.kb . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
22 lclkrlem2f.nx . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
23 lclkrlem2f.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 lclkrlem2f.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25 lclkrlem2f.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) ≠ (𝐿𝐺))
26 lclkrlem2f.lp . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26lclkrlem2f 39964 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
281, 3, 15dvhlvec 39561 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2919, 20ineq12d 4172 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
3029oveq1d 7369 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) = ((( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})) (𝑁‘{𝐵})))
31 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3225, 19, 203netr3d 3019 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ≠ ( ‘{𝑌}))
331, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 31, 15, 16, 23, 24, 32, 22, 11lclkrlem2c 39961 . . . . . 6 (𝜑 → ((( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})) (𝑁‘{𝐵})) ∈ 𝐽)
3430, 33eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) ∈ 𝐽)
3511, 28, 34, 26lshpcmp 37439 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
3627, 35mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
37 eqid 2736 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
381, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 31, 15, 16, 23, 24, 32, 22, 37lclkrlem2d 39962 . . . 4 (𝜑 → ((( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})) (𝑁‘{𝐵})) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3930, 38eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) (𝑁‘{𝐵})) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
4036, 39eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
411, 3, 37, 4dihrnss 39730 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
4215, 40, 41syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
431, 37, 3, 4, 2, 15, 42dochoccl 39821 . 2 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
4440, 43mpbid 231 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  cdif 3906  cin 3908  wss 3909  {csn 4585  ran crn 5633  cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  +gcplusg 17130  Scalarcsca 17133  0gc0g 17318  LSSumclsm 19412  LSpanclspn 20428  LSAtomsclsa 37425  LSHypclsh 37426  LFnlclfn 37508  LKerclk 37536  LDualcld 37574  HLchlt 37801  LHypclh 38436  DVecHcdvh 39530  DIsoHcdih 39680  ocHcoch 39799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-riotaBAD 37404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-undef 8201  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-0g 17320  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-proset 18181  df-poset 18199  df-plt 18216  df-lub 18232  df-glb 18233  df-join 18234  df-meet 18235  df-p0 18311  df-p1 18312  df-lat 18318  df-clat 18385  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-subg 18921  df-cntz 19093  df-oppg 19120  df-lsm 19414  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-oppr 20045  df-dvdsr 20066  df-unit 20067  df-invr 20097  df-dvr 20108  df-drng 20183  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-lsp 20429  df-lvec 20560  df-lsatoms 37427  df-lshyp 37428  df-lcv 37470  df-lfl 37509  df-lkr 37537  df-ldual 37575  df-oposet 37627  df-ol 37629  df-oml 37630  df-covers 37717  df-ats 37718  df-atl 37749  df-cvlat 37773  df-hlat 37802  df-llines 37950  df-lplanes 37951  df-lvols 37952  df-lines 37953  df-psubsp 37955  df-pmap 37956  df-padd 38248  df-lhyp 38440  df-laut 38441  df-ldil 38556  df-ltrn 38557  df-trl 38611  df-tgrp 39195  df-tendo 39207  df-edring 39209  df-dveca 39455  df-disoa 39481  df-dvech 39531  df-dib 39591  df-dic 39625  df-dih 39681  df-doch 39800  df-djh 39847
This theorem is referenced by:  lclkrlem2h  39966
  Copyright terms: Public domain W3C validator