Theorem lclkrlem2g 40895

Description: Lemma for lclkr 40915. Comparable hyperplanes are equal, so the kernel of the sum is closed. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2f.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2f.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2f.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j	⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2f.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2f.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2f.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2f.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
lclkrlem2f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.ne	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺))
lclkrlem2f.lp	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2g	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2f.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2f.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2f.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2f.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2f.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2f.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
7		lclkrlem2f.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2f.a	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2f.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2f.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lclkrlem2f.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2f.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2f.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2f.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2f.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2f.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17		lclkrlem2f.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
18		lclkrlem2f.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
19		lclkrlem2f.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
20		lclkrlem2f.lg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21		lclkrlem2f.kb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
22		lclkrlem2f.nx	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
23		lclkrlem2f.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		lclkrlem2f.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25		lclkrlem2f.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺))
26		lclkrlem2f.lp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2f 40894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
28	1, 3, 15	dvhlvec 40491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
29	19, 20	ineq12d 4208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) = (( ⊥ ‘{𝑋}) ∩ ( ⊥ ‘{𝑌})))
30	29	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) = ((( ⊥ ‘{𝑋}) ∩ ( ⊥ ‘{𝑌})) ⊕ (𝑁‘{𝐵})))
31		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
32	25, 19, 20	3netr3d 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
33	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 31, 15, 16, 23, 24, 32, 22, 11	lclkrlem2c 40891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘{𝑋}) ∩ ( ⊥ ‘{𝑌})) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ∈ 𝐽)
34	30, 33	eqeltrd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ∈ 𝐽)
35	11, 28, 34, 26	lshpcmp 38369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
36	27, 35	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
37		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
38	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 31, 15, 16, 23, 24, 32, 22, 37	lclkrlem2d 40892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘{𝑋}) ∩ ( ⊥ ‘{𝑌})) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
39	30, 38	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊕ (𝑁‘{𝐵})) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
40	36, 39	eqeltrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41	1, 3, 37, 4	dihrnss 40660	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
42	15, 40, 41	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ 𝑉)
43	1, 37, 3, 4, 2, 15, 42	dochoccl 40751	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
44	40, 43	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ran crn 5670  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  Scalarcsca 17207  0_gc0g 17392  LSSumclsm 19552  LSpanclspn 20816  LSAtomsclsa 38355  LSHypclsh 38356  LFnlclfn 38438  LKerclk 38466  LDualcld 38504  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  DIsoHcdih 40610  ocHcoch 40729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-ldual 38505  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777

This theorem is referenced by:  lclkrlem2h  40896