Theorem mat0dimscm 22491

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimscm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		0fi 9081	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		mat0dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
4	3	matlmod 22451	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
5	2, 1, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
6	3	matsca2 22442	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
7	2, 6	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
9	8	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
10	9	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11		0ex 5313	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	snid 4667	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
13	3	fveq2i 6910	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14		mat0dimbas0 22488	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
15	13, 14	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
16	12, 15	eleqtrrid 2846	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
22	18, 19, 20, 21	lmodvscl 20893	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
23	5, 10, 17, 22	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
24	15	eleq2d 2825	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅}))
25		elsni 4648	. . 3 ⊢ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)
26	24, 25	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅))
27	1, 23, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  Ringcrg 20251  LModclmod 20875   Mat cmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428

This theorem is referenced by:  mat0scmat  22560  chpmat0d  22856