Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimscm 21162
 Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimscm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm
StepHypRef Expression
1 simpl 487 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 0fin 8768 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
43matlmod 21122 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
52, 1, 4sylancr 591 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
63matsca2 21113 . . . . . . 7 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
72, 6mpan 690 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87fveq2d 6663 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
98eleq2d 2838 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109biimpa 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11 0ex 5178 . . . . . 6 ∅ ∈ V
1211snid 4559 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
133fveq2i 6662 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14 mat0dimbas0 21159 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1513, 14syl5eq 2806 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1612, 15eleqtrrid 2860 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
1716adantr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18 eqid 2759 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19 eqid 2759 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2759 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2759 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
2218, 19, 20, 21lmodvscl 19712 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
235, 10, 17, 22syl3anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
2415eleq2d 2838 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅}))
25 elsni 4540 . . 3 ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
2624, 25syl6bi 256 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅))
271, 23, 26sylc 65 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∅c0 4226  {csn 4523  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  Basecbs 16534  Scalarcsca 16619   ·𝑠 cvsca 16620  Ringcrg 19358  LModclmod 19695   Mat cmat 21100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-prds 16772  df-pws 16774  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-subg 18336  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-subrg 19594  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-dsmm 20490  df-frlm 20505  df-mat 21101 This theorem is referenced by:  mat0scmat  21231  chpmat0d  21527
 Copyright terms: Public domain W3C validator