MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimscm 22387
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (βˆ… Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimscm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) = βˆ…)

Proof of Theorem mat0dimscm
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 0fin 9192 . . . 4 βˆ… ∈ Fin
3 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (βˆ… Mat 𝑅)
43matlmod 22347 . . . 4 ((βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
52, 1, 4sylancr 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
63matsca2 22338 . . . . . . 7 ((βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
72, 6mpan 688 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
87fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
98eleq2d 2811 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))))
109biimpa 475 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
11 0ex 5302 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
1211snid 4660 . . . . 5 βˆ… ∈ {βˆ…}
133fveq2i 6894 . . . . . 6 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))
14 mat0dimbas0 22384 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = {βˆ…})
1513, 14eqtrid 2777 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π΄) = {βˆ…})
1612, 15eleqtrrid 2832 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π΄))
1716adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π΄))
18 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
19 eqid 2725 . . . 4 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
20 eqid 2725 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜π΄)
21 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
2218, 19, 20, 21lmodvscl 20763 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ βˆ… ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ (Baseβ€˜π΄))
235, 10, 17, 22syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ (Baseβ€˜π΄))
2415eleq2d 2811 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ (Baseβ€˜π΄) ↔ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ {βˆ…}))
25 elsni 4641 . . 3 ((𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ {βˆ…} β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) = βˆ…)
2624, 25biimtrdi 252 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) ∈ (Baseβ€˜π΄) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) = βˆ…))
271, 23, 26sylc 65 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π΄)βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  Ringcrg 20175  LModclmod 20745   Mat cmat 22323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mat 22324
This theorem is referenced by:  mat0scmat  22456  chpmat0d  22752
  Copyright terms: Public domain W3C validator