MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimscm 22281
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimscm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 0fin 9166 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
43matlmod 22241 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
52, 1, 4sylancr 586 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
63matsca2 22232 . . . . . . 7 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
72, 6mpan 687 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
98eleq2d 2811 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109biimpa 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11 0ex 5297 . . . . . 6 ∅ ∈ V
1211snid 4656 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
133fveq2i 6884 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14 mat0dimbas0 22278 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1513, 14eqtrid 2776 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1612, 15eleqtrrid 2832 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
1716adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19 eqid 2724 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2724 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2724 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
2218, 19, 20, 21lmodvscl 20709 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
235, 10, 17, 22syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
2415eleq2d 2811 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅}))
25 elsni 4637 . . 3 ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
2624, 25syl6bi 253 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅))
271, 23, 26sylc 65 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4314  {csn 4620  cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Ringcrg 20123  LModclmod 20691   Mat cmat 22217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-dsmm 21587  df-frlm 21602  df-mat 22218
This theorem is referenced by:  mat0scmat  22350  chpmat0d  22646
  Copyright terms: Public domain W3C validator