Theorem mat0dimscm 22517

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimscm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		0fi 9017	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		mat0dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
4	3	matlmod 22477	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
5	2, 1, 4	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
6	3	matsca2 22468	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
7	2, 6	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
9	8	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
10	9	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11		0ex 5254	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	snid 4618	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
13	3	fveq2i 6865	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14		mat0dimbas0 22514	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
15	13, 14	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
16	12, 15	eleqtrrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
17	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
22	18, 19, 20, 21	lmodvscl 20933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
23	5, 10, 17, 22	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
24	15	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅}))
25		elsni 4596	. . 3 ⊢ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)
26	24, 25	biimtrdi 255	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅))
27	1, 23, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  {csn 4579  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  Basecbs 17236  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  Ringcrg 20270  LModclmod 20915   Mat cmat 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-dsmm 21772  df-frlm 21787  df-mat 22456

This theorem is referenced by:  mat0scmat  22586  chpmat0d  22882