Theorem mat0dimscm 22626

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimscm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		0fi 9035	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		mat0dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
4	3	matlmod 22586	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
5	2, 1, 4	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
6	3	matsca2 22577	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
7	2, 6	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
9	8	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
10	9	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11		0ex 5270	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	snid 4628	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
13	3	fveq2i 6884	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14		mat0dimbas0 22623	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
15	13, 14	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
16	12, 15	eleqtrrid 2870	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
17	16	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
22	18, 19, 20, 21	lmodvscl 20999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
23	5, 10, 17, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
24	15	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅}))
25		elsni 4606	. . 3 ⊢ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)
26	24, 25	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅))
27	1, 23, 26	sylc 66	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴)∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  Ringcrg 20310  LModclmod 20981   Mat cmat 22564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-mat 22565

This theorem is referenced by:  mat0scmat  22695  chpmat0d  22991