MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimid 21007
Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimid (𝑅 ∈ Ring → (1r𝐴) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimid
StepHypRef Expression
1 0fin 8735 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 20982 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 686 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 eqid 2821 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 19249 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
84, 7syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
92fveq2i 6667 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10 mat0dimbas0 21005 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
119, 10syl5eq 2868 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1211eleq2d 2898 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (1r𝐴) ∈ {∅}))
13 elsni 4576 . . 3 ((1r𝐴) ∈ {∅} → (1r𝐴) = ∅)
1412, 13syl6bi 254 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴) → (1r𝐴) = ∅))
158, 14mpd 15 1 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  c0 4290  {csn 4559  cfv 6349  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  Basecbs 16473  1rcur 19182  Ringcrg 19228   Mat cmat 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-dsmm 20806  df-frlm 20821  df-mamu 20925  df-mat 20947
This theorem is referenced by:  mat0scmat  21077  chpmat0d  21372  matunitlindf  34772
  Copyright terms: Public domain W3C validator