Theorem mat0dimid 22593

Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9038	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		mat0dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
3	2	matring 22568	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20347	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
8	4, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9	2	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		mat0dimbas0 22591	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
11	9, 10	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
12	11	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (1r‘𝐴) ∈ {∅}))
13		elsni 4611	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐴) ∈ {∅} → (1r‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴) → (1r‘𝐴) = ∅))
15	8, 14	mpd 16	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  Basecbs 17268  1_rcur 20262  Ringcrg 20314   Mat cmat 22532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-mamu 22516  df-mat 22533

This theorem is referenced by:  mat0scmat  22663  chpmat0d  22959  matunitlindf  38156