Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsmelbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: A summand of the determinant of a matrix belongs to the underlying ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsmelbas.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
madetsmelbas.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsmelbas.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsmelbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsmelbas.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
madetsmelbas2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → (((𝑌𝑆)‘𝑄)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛𝑀(𝑄𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem madetsmelbas2
StepHypRef Expression
1 crngring 19323 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
3 madetsmelbas.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 madetsmelbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
53, 4matrcl 21058 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
65simpld 498 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → 𝑄𝑃)
9 madetsmelbas.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10 madetsmelbas.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
11 madetsmelbas.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
129, 10, 11zrhcopsgnelbas 20306 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
132, 7, 8, 12syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
14 madetsmelbas.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1614, 15mgpbas 19259 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
1714crngmgp 19319 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
18173ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → 𝐺 ∈ CMnd)
19 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → 𝑀𝐵)
203, 4, 9matepm2cl 21109 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
212, 8, 19, 20syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
2216, 18, 7, 21gsummptcl 19101 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛𝑀(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
23 eqid 2798 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2415, 23ringcl 19328 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛𝑀(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌𝑆)‘𝑄)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛𝑀(𝑄𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
252, 13, 22, 24syl3anc 1368 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑄𝑃) → (((𝑌𝑆)‘𝑄)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛𝑀(𝑄𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5114   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  Basecbs 16495  .rcmulr 16578   Σg cgsu 16726  SymGrpcsymg 18508  pmSgncpsgn 18630  CMndccmn 18919  mulGrpcmgp 19253  Ringcrg 19311  CRingccrg 19312  ℤRHomczrh 20215   Mat cmat 21053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-word 13878  df-lsw 13926  df-concat 13934  df-s1 13961  df-substr 14014  df-pfx 14044  df-splice 14123  df-reverse 14132  df-s2 14221  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-prds 16733  df-pws 16735  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-submnd 17969  df-efmnd 18046  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-ghm 18369  df-gim 18412  df-cntz 18460  df-oppg 18487  df-symg 18509  df-pmtr 18583  df-psgn 18632  df-cmn 18921  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-rnghom 19484  df-subrg 19547  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-cnfld 20113  df-zring 20185  df-zrh 20219  df-dsmm 20443  df-frlm 20458  df-mat 21054 This theorem is referenced by:  smadiadetlem1  21308  smadiadetlem3lem0  21311  smadiadet  21316
 Copyright terms: Public domain W3C validator