MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dim0 21768
Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dim0 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝐴) = ∅)

Proof of Theorem mat0dim0
StepHypRef Expression
1 0fin 9074 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 21744 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 689 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 ringgrp 19923 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
6 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7 eqid 2738 . . . 4 (0g𝐴) = (0g𝐴)
86, 7grpidcl 18738 . . 3 (𝐴 ∈ Grp → (0g𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
94, 5, 83syl 18 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
102fveq2i 6843 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
11 mat0dimbas0 21767 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1210, 11eqtrid 2790 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1312eleq2d 2824 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝐴) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (0g𝐴) ∈ {∅}))
14 elsni 4602 . . 3 ((0g𝐴) ∈ {∅} → (0g𝐴) = ∅)
1513, 14syl6bi 253 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝐴) ∈ (Base‘𝐴) → (0g𝐴) = ∅))
169, 15mpd 15 1 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4281  {csn 4585  cfv 6494  (class class class)co 7352  Fincfn 8842  Basecbs 17043  0gc0g 17281  Grpcgrp 18708  Ringcrg 19918   Mat cmat 21706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-hash 14185  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-hom 17117  df-cco 17118  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-prds 17289  df-pws 17291  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-mamu 21685  df-mat 21707
This theorem is referenced by:  chpmat0d  22135
  Copyright terms: Public domain W3C validator