Theorem ehl2eudisval 24026

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudis.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudis.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudis.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4	1, 2, 3	ehl2eudis 24025	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
5	4	oveqi 7169	. 2 ⊢ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺)
6		eqidd 2822	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))))
7		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
8		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘1) = (𝐺‘1))
9	7, 8	oveqan12d 7175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
10	9	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) = (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))
11		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘2) = (𝐹‘2))
12		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘2) = (𝐺‘2))
13	11, 12	oveqan12d 7175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) = ((𝐹‘2) − (𝐺‘2)))
14	13	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) = (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))
15	10, 14	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)) = ((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2)))
16	15	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
18		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑋)
19		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ 𝑋)
20		fvexd 6685	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))) ∈ V)
21	6, 17, 18, 19, 20	ovmpod 7302	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
22	5, 21	syl5eq 2868	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ↑_m cmap 8406  ℝcr 10536  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  2c2 11693  ↑cexp 13430  √csqrt 14592  distcds 16574  𝔼_hilcehl 23987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19504  df-field 19505  df-subrg 19533  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23773  df-rrx 23988  df-ehl 23989

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  44732  2sphere  44756