Theorem ehl2eudisval 25759

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m (0..^2))
ehl2eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudis.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudis.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m (0..^2))
3		ehl2eudis.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4	1, 2, 3	ehl2eudis 25758	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))))
5	4	oveqi 7443	. 2 ⊢ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))))𝐺)
6		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)))))
7		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
8		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘0) = (𝐺‘0))
9	7, 8	oveqan12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘0) − (𝑔‘0)) = ((𝐹‘0) − (𝐺‘0)))
10	9	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) = (((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2))
11		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
12		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘1) = (𝐺‘1))
13	11, 12	oveqan12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
14	13	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) = (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))
15	10, 14	oveq12d 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2)) = ((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2)))
16	15	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))) = (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))) = (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))))
18		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑋)
19		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ 𝑋)
20		fvexd 6911	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))) ∈ V)
21	6, 17, 18, 19, 20	ovmpod 7582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘0) − (𝑔‘0))↑2) + (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))))𝐺) = (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))))
22	5, 21	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘0) − (𝐺‘0))↑2) + (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ↑_m cmap 8861  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   − cmin 11554  2c2 12410  ..^cfzo 13801  ↑cexp 14217  √csqrt 15415  distcds 17452  𝔼_hilcehl 25720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-sum 15869  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-field 20998  df-staf 21111  df-srng 21112  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-cnfld 21694  df-refld 21926  df-dsmm 22053  df-frlm 22068  df-nm 24916  df-tng 24918  df-tcph 25505  df-rrx 25721  df-ehl 25722

This theorem is used by:  ehl2eudisval0  49983  2sphere  50006