Theorem ehl2eudisval 24587

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl2eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl2eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Proof of Theorem ehl2eudisval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehl2eudis.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
2		ehl2eudis.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
3		ehl2eudis.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
4	1, 2, 3	ehl2eudis 24586	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
5	4	oveqi 7288	. 2 ⊢ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺)
6		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))))
7		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘1) = (𝐹‘1))
8		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘1) = (𝐺‘1))
9	7, 8	oveqan12d 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
10	9	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) = (((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2))
11		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘2) = (𝐹‘2))
12		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘2) = (𝐺‘2))
13	11, 12	oveqan12d 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) = ((𝐹‘2) − (𝐺‘2)))
14	13	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) = (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))
15	10, 14	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)) = ((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2)))
16	15	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
18		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑋)
19		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ 𝑋)
20		fvexd 6789	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))) ∈ V)
21	6, 17, 18, 19, 20	ovmpod 7425	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))
22	5, 21	eqtrid 2790	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘((((𝐹‘1) − (𝐺‘1))↑2) + (((𝐹‘2) − (𝐺‘2))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  2c2 12028  ↑cexp 13782  √csqrt 14944  distcds 16971  𝔼_hilcehl 24548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-nm 23738  df-tng 23740  df-tcph 24333  df-rrx 24549  df-ehl 24550

This theorem is referenced by:  ehl2eudisval0  46071  2sphere  46095