Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspnssbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspnssbas 41050
Description: A projective point spans a subset of the (nonzero) affine points. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspnssbas.p ๐‘ƒ = (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ)
prjspnssbas.w ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...๐‘))
prjspnssbas.b ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
prjspnssbas.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
prjspnssbas.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
Assertion
Ref Expression
prjspnssbas (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โŠ† ๐’ซ ๐ต)

Proof of Theorem prjspnssbas
Dummy variables ๐‘™ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspnssbas.p . . 3 ๐‘ƒ = (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ)
2 prjspnssbas.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 prjspnssbas.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
4 eqid 2731 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))}
5 prjspnssbas.w . . . . 5 ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...๐‘))
6 prjspnssbas.b . . . . 5 ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
7 eqid 2731 . . . . 5 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
8 eqid 2731 . . . . 5 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
94, 5, 6, 7, 8prjspnval2 41047 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ DivRing) โ†’ (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ) = (๐ต / {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))}))
102, 3, 9syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ) = (๐ต / {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))}))
111, 10eqtrid 2783 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต / {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))}))
124, 5, 6, 7, 8, 3prjspner 41048 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))} Er ๐ต)
1312qsss 8739 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘ฅ = (๐‘™( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฆ))}) โŠ† ๐’ซ ๐ต)
1411, 13eqsstrd 4000 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โŠ† ๐’ซ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3925   โŠ† wss 3928  ๐’ซ cpw 4580  {csn 4606  {copab 5187  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   / cqs 8669  0cc0 11075  โ„•0cn0 12437  ...cfz 13449  Basecbs 17109   ยท๐‘  cvsca 17166  0gc0g 17350  DivRingcdr 20240   freeLMod cfrlm 21204  โ„™๐•ฃ๐• ๐•›ncprjspn 41043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-ec 8672  df-qs 8676  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-drng 20242  df-subrg 20283  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lvec 20636  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-dsmm 21190  df-frlm 21205  df-prjsp 41031  df-prjspn 41044
This theorem is referenced by:  prjcrv0  41062
  Copyright terms: Public domain W3C validator