Theorem prjspnssbas 43084

Description: A projective point spans a subset of the (nonzero) affine points. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnssbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
prjspnssbas.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnssbas.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnssbas.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnssbas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
prjspnssbas	⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem prjspnssbas

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnssbas.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾)
2		prjspnssbas.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		prjspnssbas.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
4		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
5		prjspnssbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6		prjspnssbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
7		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9	4, 5, 6, 7, 8	prjspnval2 43081	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ DivRing) → (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
10	2, 3, 9	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
11	1, 10	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
12	4, 5, 6, 7, 8, 3	prjspner 43082	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
13	12	qsss 8716	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) ⊆ 𝒫 𝐵)
14	11, 13	eqsstrd 3950	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4531  {csn 4557  {copab 5136  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   / cqs 8636  0cc0 11034  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  Basecbs 17174   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  DivRingcdr 20704   freeLMod cfrlm 21724  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 43077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-subrg 20545  df-drng 20706  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lvec 21096  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-dsmm 21710  df-frlm 21725  df-prjsp 43065  df-prjspn 43078

This theorem is referenced by:  prjcrv0  43096