![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > prjspnssbas | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A projective point spans a subset of the (nonzero) affine points. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
prjspnssbas.p | โข ๐ = (๐โ๐ฃ๐ ๐n๐พ) |
prjspnssbas.w | โข ๐ = (๐พ freeLMod (0...๐)) |
prjspnssbas.b | โข ๐ต = ((Baseโ๐) โ {(0gโ๐)}) |
prjspnssbas.n | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
prjspnssbas.k | โข (๐ โ ๐พ โ DivRing) |
Ref | Expression |
---|---|
prjspnssbas | โข (๐ โ ๐ โ ๐ซ ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prjspnssbas.p | . . 3 โข ๐ = (๐โ๐ฃ๐ ๐n๐พ) | |
2 | prjspnssbas.n | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
3 | prjspnssbas.k | . . . 4 โข (๐ โ ๐พ โ DivRing) | |
4 | eqid 2731 | . . . . 5 โข {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))} = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))} | |
5 | prjspnssbas.w | . . . . 5 โข ๐ = (๐พ freeLMod (0...๐)) | |
6 | prjspnssbas.b | . . . . 5 โข ๐ต = ((Baseโ๐) โ {(0gโ๐)}) | |
7 | eqid 2731 | . . . . 5 โข (Baseโ๐พ) = (Baseโ๐พ) | |
8 | eqid 2731 | . . . . 5 โข ( ยท๐ โ๐) = ( ยท๐ โ๐) | |
9 | 4, 5, 6, 7, 8 | prjspnval2 41047 | . . . 4 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ DivRing) โ (๐โ๐ฃ๐ ๐n๐พ) = (๐ต / {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))})) |
10 | 2, 3, 9 | syl2anc 584 | . . 3 โข (๐ โ (๐โ๐ฃ๐ ๐n๐พ) = (๐ต / {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))})) |
11 | 1, 10 | eqtrid 2783 | . 2 โข (๐ โ ๐ = (๐ต / {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))})) |
12 | 4, 5, 6, 7, 8, 3 | prjspner 41048 | . . 3 โข (๐ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))} Er ๐ต) |
13 | 12 | qsss 8739 | . 2 โข (๐ โ (๐ต / {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โง โ๐ โ (Baseโ๐พ)๐ฅ = (๐( ยท๐ โ๐)๐ฆ))}) โ ๐ซ ๐ต) |
14 | 11, 13 | eqsstrd 4000 | 1 โข (๐ โ ๐ โ ๐ซ ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3069 โ cdif 3925 โ wss 3928 ๐ซ cpw 4580 {csn 4606 {copab 5187 โcfv 6516 (class class class)co 7377 / cqs 8669 0cc0 11075 โ0cn0 12437 ...cfz 13449 Basecbs 17109 ยท๐ cvsca 17166 0gc0g 17350 DivRingcdr 20240 freeLMod cfrlm 21204 โ๐ฃ๐ ๐ncprjspn 41043 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5262 ax-sep 5276 ax-nul 5283 ax-pow 5340 ax-pr 5404 ax-un 7692 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3419 df-v 3461 df-sbc 3758 df-csb 3874 df-dif 3931 df-un 3933 df-in 3935 df-ss 3945 df-pss 3947 df-nul 4303 df-if 4507 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-tp 4611 df-op 4613 df-uni 4886 df-iun 4976 df-br 5126 df-opab 5188 df-mpt 5209 df-tr 5243 df-id 5551 df-eprel 5557 df-po 5565 df-so 5566 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5659 df-rel 5660 df-cnv 5661 df-co 5662 df-dm 5663 df-rn 5664 df-res 5665 df-ima 5666 df-pred 6273 df-ord 6340 df-on 6341 df-lim 6342 df-suc 6343 df-iota 6468 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7333 df-ov 7380 df-oprab 7381 df-mpo 7382 df-om 7823 df-1st 7941 df-2nd 7942 df-tpos 8177 df-frecs 8232 df-wrecs 8263 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-1o 8432 df-er 8670 df-ec 8672 df-qs 8676 df-map 8789 df-ixp 8858 df-en 8906 df-dom 8907 df-sdom 8908 df-fin 8909 df-sup 9402 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11411 df-neg 11412 df-nn 12178 df-2 12240 df-3 12241 df-4 12242 df-5 12243 df-6 12244 df-7 12245 df-8 12246 df-9 12247 df-n0 12438 df-z 12524 df-dec 12643 df-uz 12788 df-fz 13450 df-struct 17045 df-sets 17062 df-slot 17080 df-ndx 17092 df-base 17110 df-ress 17139 df-plusg 17175 df-mulr 17176 df-sca 17178 df-vsca 17179 df-ip 17180 df-tset 17181 df-ple 17182 df-ds 17184 df-hom 17186 df-cco 17187 df-0g 17352 df-prds 17358 df-pws 17360 df-mgm 18526 df-sgrp 18575 df-mnd 18586 df-grp 18780 df-minusg 18781 df-sbg 18782 df-subg 18954 df-mgp 19926 df-ur 19943 df-ring 19995 df-oppr 20078 df-dvdsr 20099 df-unit 20100 df-invr 20130 df-drng 20242 df-subrg 20283 df-lmod 20395 df-lss 20465 df-lvec 20636 df-sra 20707 df-rgmod 20708 df-dsmm 21190 df-frlm 21205 df-prjsp 41031 df-prjspn 41044 |
This theorem is referenced by: prjcrv0 41062 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |