Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0icc2 45281
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k 𝑘𝜑
vonn0icc2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3916 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1900 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3905 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 6990 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3916 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1900 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3905 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 6990 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7414 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8894 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘[,]
357, 34, 21nfov 7426 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑗(𝐴[,]𝐵)
3713equcoms 2024 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 2024 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 7414 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴[,]𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 8896 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
4633, 45eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
472, 46eqtr4d 2776 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6885 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 7104 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 7104 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2733 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 45277 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5532fveq2d 6885 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5655prodeq2dv 15854 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5743fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
58 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘𝑋
59 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗𝑋
60 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑘vol
6160, 35nffv 6891 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
62 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴[,]𝐵))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 15846 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵))
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6556, 64eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6648, 54, 653eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2941  csb 3891  c0 4320  cmpt 5227  cfv 6535  (class class class)co 7396  Xcixp 8879  Fincfn 8927  cr 11096  [,]cicc 13314  cprod 15836  volcvol 24949  volncvoln 45127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cc 10417  ax-ac2 10445  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10098  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-prod 15837  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-pws 17382  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-dvr 20193  df-rnghom 20229  df-drng 20295  df-field 20296  df-subrg 20338  df-abv 20402  df-staf 20430  df-srng 20431  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lmhm 20610  df-lvec 20691  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-cnfld 20919  df-refld 21131  df-phl 21152  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-cmp 22860  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-nm 24060  df-ngp 24061  df-tng 24062  df-nrg 24063  df-nlm 24064  df-cncf 24363  df-clm 24548  df-cph 24654  df-tcph 24655  df-rrx 24871  df-ovol 24950  df-vol 24951  df-salg 44898  df-sumge0 44952  df-mea 45039  df-ome 45079  df-caragen 45081  df-ovoln 45126  df-voln 45128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator