Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0icc2 45980
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k β„²π‘˜πœ‘
vonn0icc2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
3 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
64, 5nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
8 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„
97, 8nfel 2911 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
106, 9nfim 1891 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
11 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
1211anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2225 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1918fvmpts 6995 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
203, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
21 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 8nfel 2911 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
236, 22nfim 1891 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2225 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3029fvmpts 6995 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
313, 28, 30syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8908 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜[,]
357, 34, 21nfov 7435 . . . . . . 7 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
36 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝐴[,]𝐡)
3713equcoms 2015 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3837eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
39 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
4124equcoms 2015 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4241eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡)
4340, 42oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝐴[,]𝐡))
4435, 36, 43cbvixp 8910 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
4544a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
4633, 45eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
472, 46eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
4847fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
514, 16, 18fmptdf 7112 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
524, 27, 29fmptdf 7112 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
53 eqid 2726 . . 3 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 45976 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
5532fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5655prodeq2dv 15873 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5743fveq2d 6889 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
58 nfcv 2897 . . . . 5 β„²π‘˜π‘‹
59 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
60 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘˜vol
6160, 35nffv 6895 . . . . 5 β„²π‘˜(volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
62 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑗(volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 15865 . . . 4 βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6463a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6556, 64eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6648, 54, 653eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β¦‹csb 3888  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Xcixp 8893  Fincfn 8941  β„cr 11111  [,]cicc 13333  βˆcprod 15855  volcvol 25347  volncvoln 45826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-pws 17404  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-abv 20660  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-phl 21519  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-tng 24448  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-cncf 24753  df-clm 24945  df-cph 25051  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-salg 45597  df-sumge0 45651  df-mea 45738  df-ome 45778  df-caragen 45780  df-ovoln 45825  df-voln 45827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator