Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0icc2 46143
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k β„²π‘˜πœ‘
vonn0icc2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
64, 5nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
8 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„
97, 8nfel 2907 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
106, 9nfim 1891 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
11 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
1211anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13 csbeq1a 3898 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
18 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1918fvmpts 7003 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
203, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
21 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 8nfel 2907 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
236, 22nfim 1891 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3898 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3029fvmpts 7003 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
313, 28, 30syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7434 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8929 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘˜[,]
357, 34, 21nfov 7446 . . . . . . 7 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
36 nfcv 2892 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝐴[,]𝐡)
3713equcoms 2015 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3837eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
39 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
4124equcoms 2015 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4241eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡)
4340, 42oveq12d 7434 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝐴[,]𝐡))
4435, 36, 43cbvixp 8931 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
4544a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
4633, 45eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
472, 46eqtr4d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
4847fveq2d 6896 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
514, 16, 18fmptdf 7122 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
524, 27, 29fmptdf 7122 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
53 eqid 2725 . . 3 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 46139 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
5532fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5655prodeq2dv 15899 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5743fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
58 nfcv 2892 . . . . 5 β„²π‘˜π‘‹
59 nfcv 2892 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
60 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘˜vol
6160, 35nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘˜(volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
62 nfcv 2892 . . . . 5 Ⅎ𝑗(volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 15891 . . . 4 βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6463a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6556, 64eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6648, 54, 653eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β¦‹csb 3884  βˆ…c0 4318   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Xcixp 8914  Fincfn 8962  β„cr 11137  [,]cicc 13359  βˆcprod 15881  volcvol 25410  volncvoln 45989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-prod 15882  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-pws 17430  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-abv 20701  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lmhm 20911  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-refld 21541  df-phl 21562  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-tng 24511  df-nrg 24512  df-nlm 24513  df-cncf 24816  df-clm 25008  df-cph 25114  df-tcph 25115  df-rrx 25331  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-salg 45760  df-sumge0 45814  df-mea 45901  df-ome 45941  df-caragen 45943  df-ovoln 45988  df-voln 45990
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator