Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0icc2 45398
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k β„²π‘˜πœ‘
vonn0icc2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0icc2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
3 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
64, 5nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
8 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„
97, 8nfel 2917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
106, 9nfim 1899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
11 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
1211anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
18 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1918fvmpts 7001 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
203, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
21 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 8nfel 2917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
236, 22nfim 1899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3029fvmpts 7001 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
313, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8905 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜[,]
357, 34, 21nfov 7438 . . . . . . 7 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
36 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝐴[,]𝐡)
3713equcoms 2023 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3837eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
39 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
4124equcoms 2023 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4241eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡)
4340, 42oveq12d 7426 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝐴[,]𝐡))
4435, 36, 43cbvixp 8907 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡)
4544a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
4633, 45eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
472, 46eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
4847fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
514, 16, 18fmptdf 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
524, 27, 29fmptdf 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
53 eqid 2732 . . 3 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 45394 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
5532fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5655prodeq2dv 15866 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5743fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
58 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘˜π‘‹
59 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
60 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘˜vol
6160, 35nffv 6901 . . . . 5 β„²π‘˜(volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
62 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑗(volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 15858 . . . 4 βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡))
6463a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,]⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6556, 64eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,]((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6648, 54, 653eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3893  βˆ…c0 4322   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Xcixp 8890  Fincfn 8938  β„cr 11108  [,]cicc 13326  βˆcprod 15848  volcvol 24979  volncvoln 45244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-pws 17394  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-abv 20424  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-phl 21178  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nrg 24093  df-nlm 24094  df-cncf 24393  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-salg 45015  df-sumge0 45069  df-mea 45156  df-ome 45196  df-caragen 45198  df-ovoln 45243  df-voln 45245
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator