Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0icc2 41570
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc2.k 𝑘𝜑
vonn0icc2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0icc2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0icc2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0icc2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
3 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0icc2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2920 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0icc2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvar 2368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 6478 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2920 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0icc2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvar 2368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 6478 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 6864 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8132 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘[,]
357, 34, 21nfov 6876 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑗(𝐴[,]𝐵)
3713equcoms 2117 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 2117 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2771 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴[,]𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 8134 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
4633, 45eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
472, 46eqtr4d 2802 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6383 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0icc2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0icc2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 6581 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 6581 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2765 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0icc 41566 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5532fveq2d 6383 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5655prodeq2dv 14950 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)))
5743fveq2d 6383 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
58 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘𝑋
59 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝑋
60 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘vol
6160, 35nffv 6389 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵))
62 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴[,]𝐵))
6357, 58, 59, 61, 62cbvprod 14942 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵))
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,]𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6556, 64eqtrd 2799 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,]((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
6648, 54, 653eqtrd 2803 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  csb 3693  c0 4081  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  Xcixp 8117  Fincfn 8164  cr 10192  [,]cicc 12385  cprod 14932  volcvol 23535  volncvoln 41416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-ac2 9542  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-ac 9194  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-prod 14933  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-pws 16390  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-invr 18953  df-dvr 18964  df-rnghom 18998  df-drng 19032  df-field 19033  df-subrg 19061  df-abv 19100  df-staf 19128  df-srng 19129  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lmhm 19308  df-lvec 19389  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-cnfld 20034  df-refld 20239  df-phl 20260  df-dsmm 20366  df-frlm 20381  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-nm 22680  df-ngp 22681  df-tng 22682  df-nrg 22683  df-nlm 22684  df-cncf 22974  df-clm 23155  df-cph 23260  df-tcph 23261  df-rrx 23476  df-ovol 23536  df-vol 23537  df-salg 41190  df-sumge0 41241  df-mea 41328  df-ome 41368  df-caragen 41370  df-ovoln 41415  df-voln 41417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator