Theorem vonn0ioo2 47118

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0ioo2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonn0ioo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
vonn0ioo2	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0ioo2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
4		vonn0ioo2.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
6	4, 5	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
8		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
9	7, 8	nfel 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
10	6, 9	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
11		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
12	11	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
16		vonn0ioo2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	10, 15, 16	chvarfv 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
19	18	fvmpts 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
20	3, 17, 19	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
21		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
22	21, 8	nfel 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
23	6, 22	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
24		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25	24	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
26	12, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
27		vonn0ioo2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	23, 26, 27	chvarfv 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
29		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
30	29	fvmpts 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
31	3, 28, 30	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
32	20, 31	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
33	32	ixpeq2dva 8860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
34		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(,)
35	7, 34, 21	nfov 7397	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
36		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴(,)𝐵)
37	13	equcoms 2022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
38	37	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴)
39		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐴)
40	38, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴)
41	24	equcoms 2022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
43	40, 42	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
44	35, 36, 43	cbvixp 8862	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
46	33, 45	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
47	2, 46	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
48	47	fveq2d 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
49		vonn0ioo2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
50		vonn0ioo2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
51	4, 16, 18	fmptdf 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
52	4, 27, 29	fmptdf 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
53		eqid 2737	. . 3 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
54	49, 50, 51, 52, 53	vonn0ioo 47115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
55	20, 31	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
56	55	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
57	17, 28	voliooico 46420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
58	57	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
59	56, 58	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
60	59	prodeq2dv 15887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
61	43	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
62		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
63		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑋
64		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘vol
65	64, 35	nffv 6851	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
66		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(vol‘(𝐴(,)𝐵))
67	61, 62, 63, 65, 66	cbvprod 15878	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵))
68	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
69	60, 68	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	48, 54, 69	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ⦋csb 3838  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Xcixp 8845  Fincfn 8893  ℝcr 11037  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  ∏cprod 15868  volcvol 25430  volncvoln 46966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-prod 15869  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-pws 17412  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-abv 20786  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lmhm 21017  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-phl 21606  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-tng 24549  df-nrg 24550  df-nlm 24551  df-cncf 24845  df-clm 25030  df-cph 25135  df-tcph 25136  df-rrx 25352  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-salg 46737  df-sumge0 46791  df-mea 46878  df-ome 46918  df-caragen 46920  df-ovoln 46965  df-voln 46967

This theorem is referenced by: (None)