Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo2 43327
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo2.k 𝑘𝜑
vonn0ioo2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0ioo2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3852 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2955 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2969 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1w 2872 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0ioo2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 6748 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3852 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2969 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0ioo2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 6748 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7153 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8459 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑘(,)
357, 34, 21nfov 7165 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑗(𝐴(,)𝐵)
3713equcoms 2027 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2799 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 2027 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2804 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 8461 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4633, 45eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
472, 46eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6649 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0ioo2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0ioo2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 6858 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 6858 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2798 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0ioo 43324 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5520, 31oveq12d 7153 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5655fveq2d 6649 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5717, 28voliooico 42632 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5857eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5956, 58eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6059prodeq2dv 15269 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6143fveq2d 6649 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
62 nfcv 2955 . . . . 5 𝑘𝑋
63 nfcv 2955 . . . . 5 𝑗𝑋
64 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘vol
6564, 35nffv 6655 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
66 nfcv 2955 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴(,)𝐵))
6761, 62, 63, 65, 66cbvprod 15261 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵))
6867a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
6960, 68eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
7048, 54, 693eqtrd 2837 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⦋csb 3828  ∅c0 4243   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Xcixp 8444  Fincfn 8492  ℝcr 10525  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  ∏cprod 15251  volcvol 24067  volncvoln 43175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-pws 16715  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-refld 20294  df-phl 20315  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-tng 23191  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-cncf 23483  df-clm 23668  df-cph 23773  df-tcph 23774  df-rrx 23989  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-salg 42949  df-sumge0 43000  df-mea 43087  df-ome 43127  df-caragen 43129  df-ovoln 43174  df-voln 43176 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator