Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo2 45017
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo2.k β„²π‘˜πœ‘
vonn0ioo2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0ioo2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐼(π‘˜)

Proof of Theorem vonn0ioo2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo2.i . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
4 vonn0ioo2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
64, 5nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„
97, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
106, 9nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
11 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
1211anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
16 vonn0ioo2.a . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1918fvmpts 6952 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
203, 17, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
21 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
236, 22nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 vonn0ioo2.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3029fvmpts 6952 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
313, 28, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8853 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(,)
357, 34, 21nfov 7388 . . . . . . 7 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
36 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝐴(,)𝐡)
3713equcoms 2024 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3837eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
39 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
4124equcoms 2024 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4241eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡)
4340, 42oveq12d 7376 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝐴(,)𝐡))
4435, 36, 43cbvixp 8855 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
4544a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
4633, 45eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
472, 46eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
4847fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
49 vonn0ioo2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0ioo2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
514, 16, 18fmptdf 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
524, 27, 29fmptdf 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
53 eqid 2733 . . 3 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0ioo 45014 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
5520, 31oveq12d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5655fveq2d 6847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5717, 28voliooico 44319 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5857eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5956, 58eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
6059prodeq2dv 15811 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
6143fveq2d 6847 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
62 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘˜π‘‹
63 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
64 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘˜vol
6564, 35nffv 6853 . . . . 5 β„²π‘˜(volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
66 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗(volβ€˜(𝐴(,)𝐡))
6761, 62, 63, 65, 66cbvprod 15803 . . . 4 βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡))
6867a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
6960, 68eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
7048, 54, 693eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3856  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  β„cr 11055  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  βˆcprod 15793  volcvol 24843  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-pws 17336  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-phl 21046  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-tng 23956  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-cncf 24257  df-clm 24442  df-cph 24548  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-salg 44636  df-sumge0 44690  df-mea 44777  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator