Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo2 42438
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo2.k 𝑘𝜑
vonn0ioo2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0ioo2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 1874 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1863 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3806 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2934 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2946 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1860 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1w 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3797 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0ioo2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvar 2327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 6604 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3806 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2946 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1860 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3797 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0ioo2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvar 2327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2780 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 6604 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7000 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8280 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2934 . . . . . . . 8 𝑘(,)
357, 34, 21nfov 7012 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑗(𝐴(,)𝐵)
3713equcoms 1978 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2786 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2781 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2816 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 1978 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2786 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 7000 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 8282 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4633, 45eqtrd 2816 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
472, 46eqtr4d 2819 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6508 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0ioo2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0ioo2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 6710 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 6710 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2780 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0ioo 42435 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5520, 31oveq12d 7000 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5655fveq2d 6508 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5717, 28voliooico 41743 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5857eqcomd 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5956, 58eqtrd 2816 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6059prodeq2dv 15143 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6143fveq2d 6508 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
62 nfcv 2934 . . . . 5 𝑘𝑋
63 nfcv 2934 . . . . 5 𝑗𝑋
64 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑘vol
6564, 35nffv 6514 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
66 nfcv 2934 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴(,)𝐵))
6761, 62, 63, 65, 66cbvprod 15135 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵))
6867a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
6960, 68eqtrd 2816 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
7048, 54, 693eqtrd 2820 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wnf 1747  wcel 2051  wne 2969  csb 3788  c0 4181  cmpt 5013  cfv 6193  (class class class)co 6982  Xcixp 8265  Fincfn 8312  cr 10340  (,)cioo 12560  [,)cico 12562  cprod 15125  volcvol 23782  volncvoln 42286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cc 9661  ax-ac2 9689  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420  ax-mulf 10421
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-iin 4800  df-disj 4903  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-tpos 7701  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-omul 7916  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-fi 8676  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-dju 9130  df-card 9168  df-acn 9171  df-ac 9342  df-cda 9394  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xneg 12330  df-xadd 12331  df-xmul 12332  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-rlim 14713  df-sum 14910  df-prod 15126  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-hom 16451  df-cco 16452  df-rest 16558  df-topn 16559  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-topgen 16579  df-pt 16580  df-prds 16583  df-pws 16585  df-xrs 16637  df-qtop 16642  df-imas 16643  df-xps 16645  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-rnghom 19202  df-drng 19239  df-field 19240  df-subrg 19268  df-abv 19322  df-staf 19350  df-srng 19351  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lmhm 19528  df-lvec 19609  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-cnfld 20263  df-refld 20466  df-phl 20487  df-dsmm 20593  df-frlm 20608  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-cmp 21714  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-nm 22910  df-ngp 22911  df-tng 22912  df-nrg 22913  df-nlm 22914  df-cncf 23204  df-clm 23385  df-cph 23490  df-tcph 23491  df-rrx 23706  df-ovol 23783  df-vol 23784  df-salg 42060  df-sumge0 42111  df-mea 42198  df-ome 42238  df-caragen 42240  df-ovoln 42285  df-voln 42287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator