Theorem vonn0ioo2 46707

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0ioo2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
vonn0ioo2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i	⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
vonn0ioo2	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0ioo2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑗 ∈ 𝑋)
4		vonn0ioo2.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑋
6	4, 5	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7		nfcsb1v 3872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
8		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
9	7, 8	nfel 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ
10	6, 9	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
11		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
12	11	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13		csbeq1a 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)))
16		vonn0ioo2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	10, 15, 16	chvarfv 2242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ)
18		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
19	18	fvmpts 6927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
20	3, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
21		nfcsb1v 3872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
22	21, 8	nfel 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
23	6, 22	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
24		csbeq1a 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
25	24	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
26	12, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
27		vonn0ioo2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	23, 26, 27	chvarfv 2242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
29		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
30	29	fvmpts 6927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
31	3, 28, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
32	20, 31	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
33	32	ixpeq2dva 8831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
34		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(,)
35	7, 34, 21	nfov 7371	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
36		nfcv 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴(,)𝐵)
37	13	equcoms 2021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
38	37	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴)
39		eqidd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐴)
40	38, 39	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐴)
41	24	equcoms 2021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
42	41	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
43	40, 42	oveq12d 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
44	35, 36, 43	cbvixp 8833	. . . . . 6 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
46	33, 45	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
47	2, 46	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
48	47	fveq2d 6821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
49		vonn0ioo2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
50		vonn0ioo2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
51	4, 16, 18	fmptdf 7045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℝ)
52	4, 27, 29	fmptdf 7045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
53		eqid 2730	. . 3 ⊢ X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))
54	49, 50, 51, 52, 53	vonn0ioo 46704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗 ∈ 𝑋 (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))))
55	20, 31	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
56	55	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
57	17, 28	voliooico 46009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
58	57	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴[,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
59	56, 58	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
60	59	prodeq2dv 15821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)))
61	43	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
62		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
63		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑋
64		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘vol
65	64, 35	nffv 6827	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
66		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(vol‘(𝐴(,)𝐵))
67	61, 62, 63, 65, 66	cbvprod 15812	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵))
68	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴(,)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
69	60, 68	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	48, 54, 69	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ⦋csb 3848  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Xcixp 8816  Fincfn 8864  ℝcr 10997  (,)cioo 13237  [,)cico 13239  ∏cprod 15802  volcvol 25384  volncvoln 46555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10318  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-prod 15803  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-pws 17345  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-field 20640  df-abv 20717  df-staf 20747  df-srng 20748  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lmhm 20949  df-lvec 21030  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-refld 21535  df-phl 21556  df-dsmm 21662  df-frlm 21677  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-cmp 23295  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-tng 24492  df-nrg 24493  df-nlm 24494  df-cncf 24791  df-clm 24983  df-cph 25088  df-tcph 25089  df-rrx 25305  df-ovol 25385  df-vol 25386  df-salg 46326  df-sumge0 46380  df-mea 46467  df-ome 46507  df-caragen 46509  df-ovoln 46554  df-voln 46556

This theorem is referenced by: (None)