Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vonn0ioo2 45406
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo2.k β„²π‘˜πœ‘
vonn0ioo2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonn0ioo2.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐼(π‘˜)
Proof of Theorem vonn0ioo2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo2.i . . . . 5 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
3 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
4 vonn0ioo2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πœ‘
5 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑋
64, 5nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)
7 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β„
97, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ
106, 9nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
11 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↔ 𝑗 ∈ 𝑋))
1211anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋)))
13 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)))
16 vonn0ioo2.a . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ)
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
1918fvmpts 7002 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
203, 17, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
21 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅
2221, 8nfel 2918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ
236, 22nfim 1900 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)))
27 vonn0ioo2.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3029fvmpts 7002 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
313, 28, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
3220, 31oveq12d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
3332ixpeq2dva 8906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
34 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(,)
357, 34, 21nfov 7439 . . . . . . 7 β„²π‘˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
36 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝐴(,)𝐡)
3713equcoms 2024 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3837eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
39 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = 𝐴)
4124equcoms 2024 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ 𝐡 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)
4241eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡)
4340, 42oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝐴(,)𝐡))
4435, 36, 43cbvixp 8908 . . . . . 6 X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡)
4544a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
4633, 45eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐡))
472, 46eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)))
4847fveq2d 6896 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
49 vonn0ioo2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0ioo2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
514, 16, 18fmptdf 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„)
524, 27, 29fmptdf 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
53 eqid 2733 . . 3 X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0ioo 45403 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜X𝑗 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)(,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))))
5520, 31oveq12d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—)) = (⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
5655fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5717, 28voliooico 44708 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5857eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄[,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
5956, 58eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
6059prodeq2dv 15867 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)))
6143fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
62 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘˜π‘‹
63 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝑋
64 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘˜vol
6564, 35nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘˜(volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅))
66 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗(volβ€˜(𝐴(,)𝐡))
6761, 62, 63, 65, 66cbvprod 15859 . . . 4 βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡))
6867a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄(,)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΅)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
6960, 68eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ 𝑋 (volβ€˜(((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘—)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘—))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
7048, 54, 693eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β¦‹csb 3894  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891  Fincfn 8939  β„cr 11109  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  βˆcprod 15849  volcvol 24980  volncvoln 45254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-pws 17395  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-abv 20425  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-phl 21179  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-tng 24093  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-cncf 24394  df-clm 24579  df-cph 24685  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166  df-ome 45206  df-caragen 45208  df-ovoln 45253  df-voln 45255
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator