Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0ioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0ioo2 46311
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0ioo2.k 𝑘𝜑
vonn0ioo2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0ioo2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0ioo2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
vonn0ioo2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
Assertion
Ref Expression
vonn0ioo2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0ioo2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0ioo2.i . . . . 5 𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
4 vonn0ioo2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
5 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑋
64, 5nfan 1895 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
7 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
8 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑘
97, 8nfel 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
106, 9nfim 1892 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
11 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
1211anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
13 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
1512, 14imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
16 vonn0ioo2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1710, 15, 16chvarfv 2229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
1918fvmpts 7012 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
203, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
21 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
2221, 8nfel 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
236, 22nfim 1892 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
24 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2524eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2612, 25imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
27 vonn0ioo2.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
2823, 26, 27chvarfv 2229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
29 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
3029fvmpts 7012 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
313, 28, 30syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3220, 31oveq12d 7442 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
3332ixpeq2dva 8941 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
34 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑘(,)
357, 34, 21nfov 7454 . . . . . . 7 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)
36 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑗(𝐴(,)𝐵)
3713equcoms 2016 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3837eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
39 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐴 = 𝐴)
4038, 39eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐴)
4124equcoms 2016 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4241eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
4340, 42oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = (𝐴(,)𝐵))
4435, 36, 43cbvixp 8943 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4544a1i 11 . . . . 5 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4633, 45eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
472, 46eqtr4d 2769 . . 3 (𝜑𝐼 = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
4847fveq2d 6905 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
49 vonn0ioo2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
50 vonn0ioo2.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
514, 16, 18fmptdf 7131 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
524, 27, 29fmptdf 7131 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
53 eqid 2726 . . 3 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
5449, 50, 51, 52, 53vonn0ioo 46308 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)(,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
5520, 31oveq12d 7442 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5655fveq2d 6905 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5717, 28voliooico 45613 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5857eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
5956, 58eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6059prodeq2dv 15925 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)))
6143fveq2d 6905 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
62 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘𝑋
63 nfcv 2892 . . . . 5 𝑗𝑋
64 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘vol
6564, 35nffv 6911 . . . . 5 𝑘(vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵))
66 nfcv 2892 . . . . 5 𝑗(vol‘(𝐴(,)𝐵))
6761, 62, 63, 65, 66cbvprod 15917 . . . 4 𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵))
6867a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(𝑗 / 𝑘𝐴(,)𝑗 / 𝑘𝐵)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
6960, 68eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
7048, 54, 693eqtrd 2770 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2930  csb 3892  c0 4325  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  Xcixp 8926  Fincfn 8974  cr 11157  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  cprod 15907  volcvol 25483  volncvoln 46159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-prod 15908  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-pws 17464  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-field 20710  df-abv 20788  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lmhm 21000  df-lvec 21081  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-phl 21622  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-tng 24584  df-nrg 24585  df-nlm 24586  df-cncf 24889  df-clm 25081  df-cph 25187  df-tcph 25188  df-rrx 25404  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-salg 45930  df-sumge0 45984  df-mea 46071  df-ome 46111  df-caragen 46113  df-ovoln 46158  df-voln 46160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator