MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrnumwwlkg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrnumwwlkg 28970
Description: In a 𝐟-regular graph, the number of walks (as words) of a fixed length 𝑁 from a fixed vertex is 𝐟 to the power of 𝑁. Closed form of rusgrnumwwlk 28969. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrnumwwlkg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrnumwwlkg ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑃}) = (𝐟↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝐟   𝑀,𝑁   𝑀,𝑃   𝑀,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkg
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1151 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
21adantl 483 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3 rusgrnumwwlkg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↩ (♯‘{𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑣})) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↩ (♯‘{𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑣}))
53, 4rusgrnumwwlklem 28964 . . 3 ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↩ (♯‘{𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑃}))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↩ (♯‘{𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑃}))
73, 4rusgrnumwwlk 28969 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↩ (♯‘{𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑣}))𝑁) = (𝐟↑𝑁))
86, 7eqtr3d 2775 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐟 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑀‘0) = 𝑃}) = (𝐟↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5109  â€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Fincfn 8889  0cc0 11059  â„•0cn0 12421  â†‘cexp 13976  â™¯chash 14239  Vtxcvtx 27996   RegUSGraph crusgr 28553   WWalksN cwwlksn 28820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-vtx 27998  df-iedg 27999  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-ushgr 28059  df-upgr 28082  df-umgr 28083  df-uspgr 28150  df-usgr 28151  df-fusgr 28314  df-nbgr 28330  df-vtxdg 28463  df-rgr 28554  df-rusgr 28555  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825
This theorem is referenced by:  rusgrnumwlkg  28971  clwwlknclwwlkdifnum  28973
  Copyright terms: Public domain W3C validator