Theorem rusgrnumwwlkg 30022

Description: In a 𝐾-regular graph, the number of walks (as words) of a fixed length 𝑁 from a fixed vertex is 𝐾 to the power of 𝑁. Closed form of rusgrnumwwlk 30021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwwlkg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkg	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (𝐾↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkg

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		rusgrnumwwlkg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
5	3, 4	rusgrnumwwlklem 30016	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	3, 4	rusgrnumwwlk 30021	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (𝐾↑𝑁))
8	6, 7	eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (𝐾↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  Fincfn 8993  0cc0 11162  ℕ₀cn0 12533  ↑cexp 14108  ♯chash 14375  Vtxcvtx 29039   RegUSGraph crusgr 29600   WWalksN cwwlksn 29872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-inf2 9688  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-disj 5119  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-oi 9557  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-xadd 13162  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-word 14559  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14640  df-substr 14685  df-pfx 14715  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15729  df-vtx 29041  df-iedg 29042  df-edg 29091  df-uhgr 29101  df-ushgr 29102  df-upgr 29125  df-umgr 29126  df-uspgr 29193  df-usgr 29194  df-fusgr 29360  df-nbgr 29376  df-vtxdg 29510  df-rgr 29601  df-rusgr 29602  df-wwlks 29876  df-wwlksn 29877

This theorem is referenced by:  rusgrnumwlkg  30023  clwwlknclwwlkdifnum  30025