Theorem cdlemn5 41187

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 25-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemn5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
cdlemn5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn5.J	⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn5	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋)) → (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem cdlemn5

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemn5.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemn5.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemn5.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemn5.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemn5.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemn5.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		cdlemn5.s	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
8		cdlemn5.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemn5.J	. 2 ⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2730	. 2 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2730	. 2 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
12		eqid 2730	. 2 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2730	. 2 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2730	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
15		eqid 2730	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
16		eqid 2730	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑅) = (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑅)
17		eqid 2730	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘𝑄) = 𝑅) = (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘𝑄) = 𝑅)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemn5pre 41186	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋)) → (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3922   class class class wbr 5115   ↦ cmpt 5196   I cid 5540   ↾ cres 5648  ‘cfv 6519  ℩crio 7350  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  lecple 17233  occoc 17234  joincjn 18278  LSSumclsm 19570  LSpanclspn 20883  Atomscatm 39248  HLchlt 39335  LHypclh 39970  LTrncltrn 40087  TEndoctendo 40738  DVecHcdvh 41064  DIsoBcdib 41124  DIsoCcdic 41158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-riotaBAD 38938

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016  df-oposet 39161  df-ol 39163  df-oml 39164  df-covers 39251  df-ats 39252  df-atl 39283  df-cvlat 39307  df-hlat 39336  df-llines 39484  df-lplanes 39485  df-lvols 39486  df-lines 39487  df-psubsp 39489  df-pmap 39490  df-padd 39782  df-lhyp 39974  df-laut 39975  df-ldil 40090  df-ltrn 40091  df-trl 40145  df-tendo 40741  df-edring 40743  df-disoa 41015  df-dvech 41065  df-dib 41125  df-dic 41159

This theorem is referenced by:  cdlemn  41198  dihord1  41204