Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpminvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpminvid 21453
 Description: The inverse transformation applied to the transformation of a matrix over a ring R results in the matrix itself. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 13-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpminvid.i 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminvid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminvid.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
m2cpminvid.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2cpminvid ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝐼‘(𝑇𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem m2cpminvid
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . 4 (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 m2cpminvid.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3 m2cpminvid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 m2cpminvid.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐴)
51, 2, 3, 4m2cpm 21441 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑇𝑀) ∈ (𝑁 ConstPolyMat 𝑅))
6 m2cpminvid.i . . . 4 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
76, 1cpm2mval 21450 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)) → (𝐼‘(𝑇𝑀)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦))‘0)))
85, 7syld3an3 1406 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝐼‘(𝑇𝑀)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦))‘0)))
9 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
10 eqid 2758 . . . . . . . 8 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
112, 3, 4, 9, 10mat2pmatvalel 21425 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥(𝑇𝑀)𝑦) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))
12113impb 1112 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥(𝑇𝑀)𝑦) = ((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))
1312fveq2d 6662 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦))))
1413fveq1d 6660 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦))‘0) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
15 simp12 1201 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
18 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
19 simp13 1202 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑀𝐾)
203, 16, 4, 17, 18, 19matecld 21126 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
219, 10, 16ply1sclid 21012 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥𝑀𝑦) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
2215, 20, 21syl2anc 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
2314, 22eqtr4d 2796 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦))‘0) = (𝑥𝑀𝑦))
2423mpoeq3dva 7225 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇𝑀)𝑦))‘0)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)))
25 eqidd 2759 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)))
26 oveq12 7159 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑖𝑀𝑗))
2726adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑖𝑀𝑗))
28 simprl 770 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
29 simprr 772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
30 ovexd 7185 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
3125, 27, 28, 29, 30ovmpod 7297 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
3231ralrimivva 3120 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
33 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
34 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
353, 16, 4, 33, 34, 20matbas2d 21123 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) ∈ 𝐾)
36 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀𝐾)
373, 4eqmat 21124 . . . 4 (((𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) ∈ 𝐾𝑀𝐾) → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗)))
3835, 36, 37syl2anc 587 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗)))
3932, 38mpbird 260 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀)
408, 24, 393eqtrd 2797 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝐼‘(𝑇𝑀)) = 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Fincfn 8527  0cc0 10575  Basecbs 16541  Ringcrg 19365  algSccascl 20617  Poly1cpl1 20901  coe1cco1 20902   Mat cmat 21107   ConstPolyMat ccpmat 21403   matToPolyMat cmat2pmat 21404   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-ascl 20620  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-vr1 20905  df-ply1 20906  df-coe1 20907  df-mat 21108  df-cpmat 21406  df-mat2pmat 21407  df-cpmat2mat 21408 This theorem is referenced by:  m2cpminv  21460  m2cpminv0  21461  cayhamlem4  21588
 Copyright terms: Public domain W3C validator