Theorem m2cpminvid 22671

Description: The inverse transformation applied to the transformation of a matrix over a ring R results in the matrix itself. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 13-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpminvid.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminvid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminvid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
m2cpminvid.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2cpminvid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝐼‘(𝑇‘𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem m2cpminvid

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpminvid.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpminvid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpminvid.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5	1, 2, 3, 4	m2cpm 22659	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑇‘𝑀) ∈ (𝑁 ConstPolyMat 𝑅))
6		m2cpminvid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
7	6, 1	cpm2mval 22668	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)) → (𝐼‘(𝑇‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦))‘0)))
8	5, 7	syld3an3 1406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝐼‘(𝑇‘𝑀)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦))‘0)))
9		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
10		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
11	2, 3, 4, 9, 10	mat2pmatvalel 22643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → (𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))
12	11	3impb 1112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))
13	12	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦)) = (coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦))))
14	13	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦))‘0) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
15		simp12 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
18		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
19		simp13 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐾)
20	3, 16, 4, 17, 18, 19	matecld 22344	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
21	9, 10, 16	ply1sclid 22214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥𝑀𝑦) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
22	15, 20, 21	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑀𝑦) = ((coe1‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥𝑀𝑦)))‘0))
23	14, 22	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦))‘0) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	mpoeq3dva 7493	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑥(𝑇‘𝑀)𝑦))‘0)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)))
25		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)))
26		oveq12 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑖𝑀𝑗))
27	26	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑖𝑀𝑗))
28		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
30		ovexd 7450	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
31	25, 27, 28, 29, 30	ovmpod 7569	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
32	31	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
33		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
34		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
35	3, 16, 4, 33, 34, 20	matbas2d 22341	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) ∈ 𝐾)
36		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → 𝑀 ∈ 𝐾)
37	3, 4	eqmat 22342	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗)))
38	35, 36, 37	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦))𝑗) = (𝑖𝑀𝑗)))
39	32, 38	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀𝑦)) = 𝑀)
40	8, 24, 39	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝐼‘(𝑇‘𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  Fincfn 8960  0cc0 11136  Basecbs 17177  Ringcrg 20175  algSccascl 21788  Poly₁cpl1 22102  coe₁cco1 22103   Mat cmat 22323   ConstPolyMat ccpmat 22621   matToPolyMat cmat2pmat 22622   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-vr1 22106  df-ply1 22107  df-coe1 22108  df-mat 22324  df-cpmat 22624  df-mat2pmat 22625  df-cpmat2mat 22626

This theorem is referenced by:  m2cpminv  22678  m2cpminv0  22679  cayhamlem4  22806