Theorem m2cpminv 21890

Description: The inverse matrix transformation is a 1-1 function from the constant polynomial matrices onto the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpminv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
m2cpminv.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpminv.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminv.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2cpminv	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼:𝑆–1-1-onto→𝐾 ∧ ◡𝐼 = 𝑇))

Proof of Theorem m2cpminv

Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpminv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		m2cpminv.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
3		m2cpminv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
4		m2cpminv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	cpm2mf 21882	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆⟶𝐾)
6		m2cpminv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7	3, 6, 1, 2	m2cpmf 21872	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾⟶𝑆)
8	3, 4, 6	m2cpminvid2 21885	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝐼‘𝑠)) = 𝑠)
9	8	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝐼‘𝑠)) = 𝑠)
10	9	ralrimiva 3109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇‘(𝐼‘𝑠)) = 𝑠)
11	4, 1, 2, 6	m2cpminvid 21883	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐼‘(𝑇‘𝑘)) = 𝑘)
12	11	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐼‘(𝑇‘𝑘)) = 𝑘)
13	12	ralrimiva 3109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝐼‘(𝑇‘𝑘)) = 𝑘)
14	5, 7, 10, 13	2fvidf1od 7163	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼:𝑆–1-1-onto→𝐾)
15	5, 7, 10, 13	2fvidinvd 7164	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ◡𝐼 = 𝑇)
16	14, 15	jca 511	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼:𝑆–1-1-onto→𝐾 ∧ ◡𝐼 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5587  –1-1-onto→wf1o 6429  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  Basecbs 16893  Ringcrg 19764   Mat cmat 21535   ConstPolyMat ccpmat 21833   matToPolyMat cmat2pmat 21834   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-srg 19723  df-ring 19766  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-ascl 21043  df-psr 21093  df-mvr 21094  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-vr1 21333  df-ply1 21334  df-coe1 21335  df-mat 21536  df-cpmat 21836  df-mat2pmat 21837  df-cpmat2mat 21838

This theorem is referenced by: (None)