Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c1lip3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c1lip3 24591
 Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
c1lip3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
c1lip3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
c1lip3.f (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
c1lip3.rn (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
c1lip3.dm (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
c1lip3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip3
StepHypRef Expression
1 c1lip3.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 c1lip3.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 c1lip3.f . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
4 df-ima 5549 . . . 4 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
5 c1lip3.rn . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
64, 5eqsstrrid 4000 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
7 iccssre 12805 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
81, 2, 7syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 c1lip3.dm . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
108, 9ssind 4192 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (ℝ ∩ dom 𝐹))
11 dmres 5856 . . . 4 dom (𝐹 ↾ ℝ) = (ℝ ∩ dom 𝐹)
1210, 11sseqtrrdi 4002 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom (𝐹 ↾ ℝ))
131, 2, 3, 6, 12c1lip2 24590 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
148sseld 3950 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
158sseld 3950 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
1614, 15anim12d 611 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
1716imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
18 fvres 6670 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
19 fvres 6670 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2018, 19oveqan12rd 7158 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)))
2120fveq2d 6655 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
2221breq1d 5057 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
2322biimpd 232 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
2417, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
2524ralimdvva 3173 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
2625reximdv 3265 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥)))))
2713, 26mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  ∃wrex 3133   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918   class class class wbr 5047  dom cdm 5536  ran crn 5537   ↾ cres 5538   “ cima 5539  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℝcr 10521  1c1 10523   · cmul 10527   ≤ cle 10661   − cmin 10855  [,]cicc 12727  abscabs 14582  𝓑C𝑛ccpn 24457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-cmp 21981  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-dvn 24460  df-cpn 24461 This theorem is referenced by:  aalioulem3  24919
 Copyright terms: Public domain W3C validator