Theorem c1lip3 25751

Description: C^1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
c1lip3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
c1lip3.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
c1lip3.rn	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
c1lip3.dm	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
c1lip3	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘   𝑥,𝐴,𝑦,𝑘   𝑥,𝐵,𝑦,𝑘   𝑥,𝐹,𝑦,𝑘

Proof of Theorem c1lip3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c1lip3.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		c1lip3.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		c1lip3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((𝓑C𝑛‘ℝ)‘1))
4		df-ima 5688	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
5		c1lip3.rn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
6	4, 5	eqsstrrid 4030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
7		iccssre 13410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	1, 2, 7	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		c1lip3.dm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
10	8, 9	ssind 4231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (ℝ ∩ dom 𝐹))
11		dmres 6002	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ ℝ) = (ℝ ∩ dom 𝐹)
12	10, 11	sseqtrrdi 4032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom (𝐹 ↾ ℝ))
13	1, 2, 3, 6, 12	c1lip2 25750	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))))
14	8	sseld 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
15	8	sseld 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
16	14, 15	anim12d 607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
17	16	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
18		fvres 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
19		fvres 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
20	18, 19	oveqan12rd 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)))
21	20	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))))
22	21	breq1d 5157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥)))))
23	22	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥)))))
24	17, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥)))))
25	24	ralimdvva 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥)))))
26	25	reximdv 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑦) − ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥)))))
27	13, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (𝑘 · (abs‘(𝑦 − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11253   − cmin 11448  [,]cicc 13331  abscabs 15185  𝓑C^𝑛ccpn 25614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617  df-cpn 25618

This theorem is referenced by:  aalioulem3  26083