Theorem blengt1fldiv2p1 48443

Description: The binary length of an integer greater than 1 is the binary length of the integer divided by 2, increased by one. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blengt1fldiv2p1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))

Proof of Theorem blengt1fldiv2p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12922	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nneop 48376	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
4		nnnn0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
5		blennn0em1 48441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b‘𝑁) − 1))
6	4, 5	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b‘𝑁) − 1))
7	6	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b‘𝑁) − 1))
8	7	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = (((#b‘𝑁) − 1) + 1))
9		nnz 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
10		flid 13845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
12	11	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) = (⌊‘(𝑁 / 2)))
13	12	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (#b‘(𝑁 / 2)) = (#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))))
14	13	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
16		blennnelnn 48426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℂ)
18		npcan1 11686	. . . . . . . 8 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℂ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((#b‘𝑁) − 1) + 1) = (#b‘𝑁))
21	8, 15, 20	3eqtr3rd 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
22	21	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
23	22, 1	syl11 33	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
24		nnnn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
25		blennngt2o2 48442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
27	26	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
28		eluzge2nn0 12927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0ofldiv2 48382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
30	28, 24, 29	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
31	30	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 1) / 2) = (⌊‘(𝑁 / 2)))
32	31	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = (#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))))
33	32	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
34	27, 33	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
35	34	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
36	23, 35	jaoi 857	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
37	3, 36	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ⌊cfl 13827  #_bcblen 48419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823  df-blen 48420

This theorem is referenced by: (None)