Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blengt1fldiv2p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blengt1fldiv2p1 43961
Description: The binary length of an integer greater than 1 is the binary length of the integer divided by 2, increased by one. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
blengt1fldiv2p1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))

Proof of Theorem blengt1fldiv2p1
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12091 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nneop 43894 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
4 nnnn0 11708 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
5 blennn0em1 43959 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b𝑁) − 1))
64, 5sylan2 583 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b𝑁) − 1))
76ancoms 451 . . . . . . 7 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((#b𝑁) − 1))
87oveq1d 6985 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = (((#b𝑁) − 1) + 1))
9 nnz 11810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
10 flid 12986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1211eqcomd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) = (⌊‘(𝑁 / 2)))
1312fveq2d 6497 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (#b‘(𝑁 / 2)) = (#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))))
1413oveq1d 6985 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
1514adantr 473 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
16 blennnelnn 43944 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
1716nncnd 11449 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℂ)
18 npcan1 10858 . . . . . . . 8 ((#b𝑁) ∈ ℂ → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
2019adantl 474 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
218, 15, 203eqtr3rd 2817 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
2221expcom 406 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
2322, 1syl11 33 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
24 nnnn0 11708 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
25 blennngt2o2 43960 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
2624, 25sylan2 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
2726ancoms 451 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
28 eluzge2nn0 12094 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 nn0ofldiv2 43900 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
3028, 24, 29syl2anr 587 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
3130eqcomd 2778 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) / 2) = (⌊‘(𝑁 / 2)))
3231fveq2d 6497 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = (#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))))
3332oveq1d 6985 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
3427, 33eqtrd 2808 . . . 4 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
3534ex 405 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
3623, 35jaoi 843 . 2 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
373, 36mpcom 38 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((#b‘(⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  1c1 10328   + caddc 10330  cmin 10662   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  cuz 12051  cfl 12968  #bcblen 43937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158  df-log 24831  df-cxp 24832  df-logb 25034  df-blen 43938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator