Theorem cnfldtopon 24697

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24692	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21295	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22849	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21291  TopOnctopon 22825  TopSpctps 22847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24698  unicntop  24700  sszcld  24733  reperflem  24734  cnperf  24736  divcnOLD  24784  divcn  24786  fsumcn  24788  expcn  24790  divccn  24791  expcnOLD  24792  divccnOLD  24793  cncfcn1  24831  cncfmptc  24832  cncfmptid  24833  cncfmpt2f  24835  cdivcncf  24841  abscncfALT  24845  cncfcnvcn  24846  cnmptre  24848  iirevcn  24851  iihalf1cn  24853  iihalf1cnOLD  24854  iihalf2cn  24856  iihalf2cnOLD  24857  iimulcn  24861  iimulcnOLD  24862  icchmeo  24865  icchmeoOLD  24866  cnrehmeo  24878  cnrehmeoOLD  24879  cnheiborlem  24880  cnheibor  24881  cnllycmp  24882  evth  24885  evth2  24886  lebnumlem2  24888  reparphti  24923  reparphtiOLD  24924  pcoass  24951  mulcncf  25373  mbfimaopnlem  25583  limcvallem  25799  ellimc2  25805  limcnlp  25806  limcflflem  25808  limcflf  25809  limcmo  25810  limcres  25814  cnplimc  25815  cnlimc  25816  limccnp  25819  limccnp2  25820  dvbss  25829  perfdvf  25831  recnperf  25833  dvreslem  25837  dvres2lem  25838  dvres3a  25842  dvidlem  25843  dvcnp2  25848  dvcnp2OLD  25849  dvcn  25850  dvnres  25860  dvaddbr  25867  dvmulbr  25868  dvmulbrOLD  25869  dvcmulf  25875  dvcobr  25876  dvcobrOLD  25877  dvcjbr  25880  dvrec  25886  dvmptid  25888  dvmptc  25889  dvmptres2  25893  dvmptcmul  25895  dvmptntr  25902  dvmptfsum  25906  dvcnvlem  25907  dvcnv  25908  dvexp3  25909  dveflem  25910  dvlipcn  25926  lhop1lem  25945  lhop2  25947  lhop  25948  dvcnvrelem2  25950  dvcnvre  25951  ftc1lem3  25972  ftc1cn  25977  plycn  26193  plycnOLD  26194  dvply1  26218  dvtaylp  26305  taylthlem1  26308  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  ulmdvlem3  26338  psercn2  26359  psercn2OLD  26360  psercn  26363  pserdvlem2  26365  pserdv  26366  abelth  26378  pige3ALT  26456  logcn  26583  dvloglem  26584  dvlog  26587  dvlog2  26589  efopnlem2  26593  efopn  26594  logtayl  26596  dvcxp1  26676  cxpcn  26681  cxpcnOLD  26682  cxpcn2  26683  cxpcn3  26685  resqrtcn  26686  sqrtcn  26687  loglesqrt  26698  atansopn  26869  dvatan  26872  xrlimcnp  26905  efrlim  26906  efrlimOLD  26907  lgamucov  26975  ftalem3  27012  vmcn  30679  dipcn  30700  ipasslem7  30816  ipasslem8  30817  occllem  31283  nlelchi  32041  tpr2rico  33925  rmulccn  33941  raddcn  33942  cxpcncf1  34608  cvxpconn  35286  cvxsconn  35287  cnllysconn  35289  sinccvglem  35716  ivthALT  36379  knoppcnlem10  36546  knoppcnlem11  36547  broucube  37693  dvtan  37709  ftc1cnnc  37731  dvasin  37743  dvacos  37744  dvreasin  37745  dvreacos  37746  areacirclem1  37747  areacirclem2  37748  areacirclem4  37750  refsumcn  45126  fprodcnlem  45698  fprodcn  45699  fsumcncf  45975  ioccncflimc  45982  cncfuni  45983  icocncflimc  45986  cncfdmsn  45987  cncfiooicclem1  45990  cxpcncf2  45996  fprodsub2cncf  46002  fprodadd2cncf  46003  dvmptconst  46012  dvmptidg  46014  dvresntr  46015  itgsubsticclem  46072  dirkercncflem2  46201  dirkercncflem4  46203  dirkercncf  46204  fourierdlem32  46236  fourierdlem33  46237  fourierdlem62  46265  fourierdlem93  46296  fourierdlem101  46304