MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopon 22796
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 22791 . 2 fld ∈ TopSp
2 cnfldbas 19954 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfldtopn.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
42, 3istps 20949 . 2 (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
51, 4mpbi 221 1 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6097  cc 10215  TopOpenctopn 16283  fldccnfld 19950  TopOnctopon 20925  TopSpctps 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-fz 12546  df-seq 13021  df-exp 13080  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-cnfld 19951  df-top 20909  df-topon 20926  df-topsp 20948  df-bases 20961  df-xms 22335  df-ms 22336
This theorem is referenced by:  cnfldtop  22797  unicntop  22799  sszcld  22830  reperflem  22831  cnperf  22833  divcn  22881  fsumcn  22883  expcn  22885  divccn  22886  cncfcn1  22923  cncfmptc  22924  cncfmptid  22925  cncfmpt2f  22927  cdivcncf  22930  abscncfALT  22933  cncfcnvcn  22934  cnmptre  22936  iirevcn  22939  iihalf1cn  22941  iihalf2cn  22943  iimulcn  22947  icchmeo  22950  cnrehmeo  22962  cnheiborlem  22963  cnheibor  22964  cnllycmp  22965  evth  22968  evth2  22969  lebnumlem2  22971  reparphti  23006  pcoass  23033  csscld  23257  clsocv  23258  cncmet  23329  resscdrg  23364  mbfimaopnlem  23635  limcvallem  23848  ellimc2  23854  limcnlp  23855  limcflflem  23857  limcflf  23858  limcmo  23859  limcres  23863  cnplimc  23864  cnlimc  23865  limccnp  23868  limccnp2  23869  limciun  23871  dvbss  23878  perfdvf  23880  recnperf  23882  dvreslem  23886  dvres2lem  23887  dvres3a  23891  dvidlem  23892  dvcnp2  23896  dvcn  23897  dvnres  23907  dvaddbr  23914  dvmulbr  23915  dvcmulf  23921  dvcobr  23922  dvcjbr  23925  dvrec  23931  dvmptid  23933  dvmptc  23934  dvmptres2  23938  dvmptcmul  23940  dvmptntr  23947  dvmptfsum  23951  dvcnvlem  23952  dvcnv  23953  dvexp3  23954  dveflem  23955  dvlipcn  23970  lhop1lem  23989  lhop2  23991  lhop  23992  dvcnvrelem2  23994  dvcnvre  23995  ftc1lem3  24014  ftc1cn  24019  plycn  24230  dvply1  24252  dvtaylp  24337  taylthlem1  24340  taylthlem2  24341  ulmdvlem3  24369  psercn2  24390  psercn  24393  pserdvlem2  24395  pserdv  24396  abelth  24408  pige3  24483  logcn  24606  dvloglem  24607  logdmopn  24608  dvlog  24610  dvlog2  24612  efopnlem2  24616  efopn  24617  logtayl  24619  dvcxp1  24694  cxpcn  24699  cxpcn2  24700  cxpcn3  24702  resqrtcn  24703  sqrtcn  24704  loglesqrt  24712  atansopn  24872  dvatan  24875  xrlimcnp  24908  efrlim  24909  lgamucov  24977  lgamucov2  24978  ftalem3  25014  vmcn  27881  dipcn  27902  ipasslem7  28018  ipasslem8  28019  occllem  28489  nlelchi  29247  tpr2rico  30282  rmulccn  30298  raddcn  30299  cxpcncf1  30997  cvxpconn  31545  cvxsconn  31546  cnllysconn  31548  sinccvglem  31886  ivthALT  32649  knoppcnlem10  32807  knoppcnlem11  32808  broucube  33754  dvtanlem  33769  dvtan  33770  ftc1cnnc  33794  dvasin  33806  dvacos  33807  dvreasin  33808  dvreacos  33809  areacirclem1  33810  areacirclem2  33811  areacirclem4  33813  refsumcn  39680  fprodcnlem  40308  fprodcn  40309  fsumcncf  40568  ioccncflimc  40575  cncfuni  40576  icocncflimc  40579  cncfdmsn  40580  cncfiooicclem1  40583  cxpcncf2  40590  fprodsub2cncf  40596  fprodadd2cncf  40597  dvmptconst  40606  dvmptidg  40608  dvresntr  40609  itgsubsticclem  40667  dirkercncflem2  40797  dirkercncflem4  40799  dirkercncf  40800  fourierdlem32  40832  fourierdlem33  40833  fourierdlem62  40861  fourierdlem93  40892  fourierdlem101  40900
  Copyright terms: Public domain W3C validator