Theorem cnfldtopon 24948

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24943	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21535	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23100	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  ℂcc 11102  TopOpenctopn 17478  ℂ_fldccnfld 21531  TopOnctopon 23076  TopSpctps 23098

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-rest 17479  df-topn 17480  df-topgen 17500  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-xms 24486  df-ms 24487

This theorem is used by:  cnfldtop  24949  unicntop  24951  sszcld  24984  reperflem  24985  cnperf  24987  divcn  25036  fsumcn  25038  expcn  25040  divccn  25041  cncfcn1  25079  cncfmptc  25080  cncfmptid  25081  cncfmpt2f  25083  cdivcncf  25089  abscncfALT  25092  cncfcnvcn  25093  cnmptre  25095  iirevcn  25098  iihalf1cn  25100  iihalf2cn  25102  iimulcn  25106  icchmeo  25109  cnrehmeo  25121  cnheiborlem  25122  cnheibor  25123  cnllycmp  25124  evth  25127  evth2  25128  lebnumlem2  25130  reparphti  25165  pcoass  25192  mulcncf  25614  mbfimaopnlem  25823  limcvallem  26039  ellimc2  26045  limcnlp  26046  limcflflem  26048  limcflf  26049  limcmo  26050  limcres  26054  cnplimc  26055  cnlimc  26056  limccnp  26059  limccnp2  26060  dvbss  26069  perfdvf  26071  recnperf  26073  dvreslem  26077  dvres2lem  26078  dvres3a  26082  dvidlem  26083  dvcnp2  26088  dvcn  26089  dvnres  26099  dvaddbr  26106  dvmulbr  26107  dvcmulf  26113  dvcobr  26114  dvcjbr  26117  dvrec  26123  dvmptid  26125  dvmptc  26126  dvmptres2  26130  dvmptcmul  26132  dvmptntr  26139  dvmptfsum  26143  dvcnvlem  26144  dvcnv  26145  dvexp3  26146  dveflem  26147  dvlipcn  26162  lhop1lem  26181  lhop2  26183  lhop  26184  dvcnvrelem2  26186  dvcnvre  26187  ftc1lem3  26206  ftc1cn  26211  plycn  26427  dvply1  26454  dvtaylp  26542  taylthlem1  26545  taylthlem2  26546  ulmdvlem3  26574  psercn2  26595  psercn  26598  pserdvlem2  26600  pserdv  26601  abelth  26613  pige3ALT  26694  logcn  26821  dvloglem  26822  dvlog  26825  dvlog2  26827  efopnlem2  26831  efopn  26832  logtayl  26834  dvcxp1  26914  cxpcn  26919  cxpcn2  26920  cxpcn3  26922  resqrtcn  26923  sqrtcn  26924  loglesqrt  26935  atansopn  27106  dvatan  27109  xrlimcnp  27142  efrlim  27143  lgamucov  27211  ftalem3  27248  vmcn  31060  dipcn  31081  ipasslem7  31197  ipasslem8  31198  occllem  31664  nlelchi  32422  tpr2rico  34311  rmulccn  34327  raddcn  34328  cxpcncf1  34991  cvxpconn  35742  cvxsconn  35743  cnllysconn  35745  sinccvglem  36172  ivthALT  36874  knoppcnlem10  37119  knoppcnlem11  37120  broucube  38333  dvtan  38349  ftc1cnnc  38371  dvasin  38383  dvacos  38384  dvreasin  38385  dvreacos  38386  areacirclem1  38387  areacirclem2  38388  areacirclem4  38390  refsumcn  45778  fprodcnlem  46343  fprodcn  46344  fsumcncf  46620  ioccncflimc  46627  cncfuni  46628  icocncflimc  46631  cncfdmsn  46632  cncfiooicclem1  46635  cxpcncf2  46641  fprodsub2cncf  46647  fprodadd2cncf  46648  dvmptconst  46657  dvmptidg  46659  dvresntr  46660  itgsubsticclem  46717  dirkercncflem2  46846  dirkercncflem4  46848  dirkercncf  46849  fourierdlem32  46881  fourierdlem33  46882  fourierdlem62  46910  fourierdlem93  46941  fourierdlem101  46949