Theorem cnfldtopon 24769

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24764	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21355	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22921	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 232	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  ℂcc 11031  TopOpenctopn 17379  ℂ_fldccnfld 21351  TopOnctopon 22897  TopSpctps 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-xms 24307  df-ms 24308

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24770  unicntop  24772  sszcld  24805  reperflem  24806  cnperf  24808  divcn  24857  fsumcn  24859  expcn  24861  divccn  24862  cncfcn1  24900  cncfmptc  24901  cncfmptid  24902  cncfmpt2f  24904  cdivcncf  24910  abscncfALT  24913  cncfcnvcn  24914  cnmptre  24916  iirevcn  24919  iihalf1cn  24921  iihalf2cn  24923  iimulcn  24927  icchmeo  24930  cnrehmeo  24942  cnheiborlem  24943  cnheibor  24944  cnllycmp  24945  evth  24948  evth2  24949  lebnumlem2  24951  reparphti  24986  pcoass  25013  mulcncf  25435  mbfimaopnlem  25644  limcvallem  25860  ellimc2  25866  limcnlp  25867  limcflflem  25869  limcflf  25870  limcmo  25871  limcres  25875  cnplimc  25876  cnlimc  25877  limccnp  25880  limccnp2  25881  dvbss  25890  perfdvf  25892  recnperf  25894  dvreslem  25898  dvres2lem  25899  dvres3a  25903  dvidlem  25904  dvcnp2  25909  dvcn  25910  dvnres  25920  dvaddbr  25927  dvmulbr  25928  dvcmulf  25934  dvcobr  25935  dvcjbr  25938  dvrec  25944  dvmptid  25946  dvmptc  25947  dvmptres2  25951  dvmptcmul  25953  dvmptntr  25960  dvmptfsum  25964  dvcnvlem  25965  dvcnv  25966  dvexp3  25967  dveflem  25968  dvlipcn  25983  lhop1lem  26002  lhop2  26004  lhop  26005  dvcnvrelem2  26007  dvcnvre  26008  ftc1lem3  26027  ftc1cn  26032  plycn  26248  dvply1  26272  dvtaylp  26357  taylthlem1  26360  taylthlem2  26361  ulmdvlem3  26389  psercn2  26410  psercn  26413  pserdvlem2  26415  pserdv  26416  abelth  26428  pige3ALT  26506  logcn  26633  dvloglem  26634  dvlog  26637  dvlog2  26639  efopnlem2  26643  efopn  26644  logtayl  26646  dvcxp1  26726  cxpcn  26731  cxpcn2  26732  cxpcn3  26734  resqrtcn  26735  sqrtcn  26736  loglesqrt  26747  atansopn  26918  dvatan  26921  xrlimcnp  26954  efrlim  26955  lgamucov  27023  ftalem3  27060  vmcn  30792  dipcn  30813  ipasslem7  30929  ipasslem8  30930  occllem  31396  nlelchi  32154  tpr2rico  34108  rmulccn  34124  raddcn  34125  cxpcncf1  34791  cvxpconn  35485  cvxsconn  35486  cnllysconn  35488  sinccvglem  35915  ivthALT  36578  knoppcnlem10  36823  knoppcnlem11  36824  broucube  38036  dvtan  38052  ftc1cnnc  38074  dvasin  38086  dvacos  38087  dvreasin  38088  dvreacos  38089  areacirclem1  38090  areacirclem2  38091  areacirclem4  38093  refsumcn  45493  fprodcnlem  46058  fprodcn  46059  fsumcncf  46335  ioccncflimc  46342  cncfuni  46343  icocncflimc  46346  cncfdmsn  46347  cncfiooicclem1  46350  cxpcncf2  46356  fprodsub2cncf  46362  fprodadd2cncf  46363  dvmptconst  46372  dvmptidg  46374  dvresntr  46375  itgsubsticclem  46432  dirkercncflem2  46561  dirkercncflem4  46563  dirkercncf  46564  fourierdlem32  46596  fourierdlem33  46597  fourierdlem62  46625  fourierdlem93  46656  fourierdlem101  46664