Theorem cnfldtopon 24844

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24839	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21430	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22996	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 232	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  ℂcc 11073  TopOpenctopn 17452  ℂ_fldccnfld 21426  TopOnctopon 22972  TopSpctps 22994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13515  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-rest 17453  df-topn 17454  df-topgen 17474  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-xms 24382  df-ms 24383

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24845  unicntop  24847  sszcld  24880  reperflem  24881  cnperf  24883  divcn  24932  fsumcn  24934  expcn  24936  divccn  24937  cncfcn1  24975  cncfmptc  24976  cncfmptid  24977  cncfmpt2f  24979  cdivcncf  24985  abscncfALT  24988  cncfcnvcn  24989  cnmptre  24991  iirevcn  24994  iihalf1cn  24996  iihalf2cn  24998  iimulcn  25002  icchmeo  25005  cnrehmeo  25017  cnheiborlem  25018  cnheibor  25019  cnllycmp  25020  evth  25023  evth2  25024  lebnumlem2  25026  reparphti  25061  pcoass  25088  mulcncf  25510  mbfimaopnlem  25719  limcvallem  25935  ellimc2  25941  limcnlp  25942  limcflflem  25944  limcflf  25945  limcmo  25946  limcres  25950  cnplimc  25951  cnlimc  25952  limccnp  25955  limccnp2  25956  dvbss  25965  perfdvf  25967  recnperf  25969  dvreslem  25973  dvres2lem  25974  dvres3a  25978  dvidlem  25979  dvcnp2  25984  dvcn  25985  dvnres  25995  dvaddbr  26002  dvmulbr  26003  dvcmulf  26009  dvcobr  26010  dvcjbr  26013  dvrec  26019  dvmptid  26021  dvmptc  26022  dvmptres2  26026  dvmptcmul  26028  dvmptntr  26035  dvmptfsum  26039  dvcnvlem  26040  dvcnv  26041  dvexp3  26042  dveflem  26043  dvlipcn  26058  lhop1lem  26077  lhop2  26079  lhop  26080  dvcnvrelem2  26082  dvcnvre  26083  ftc1lem3  26102  ftc1cn  26107  plycn  26323  dvply1  26350  dvtaylp  26435  taylthlem1  26438  taylthlem2  26439  ulmdvlem3  26467  psercn2  26488  psercn  26491  pserdvlem2  26493  pserdv  26494  abelth  26506  pige3ALT  26587  logcn  26714  dvloglem  26715  dvlog  26718  dvlog2  26720  efopnlem2  26724  efopn  26725  logtayl  26727  dvcxp1  26807  cxpcn  26812  cxpcn2  26813  cxpcn3  26815  resqrtcn  26816  sqrtcn  26817  loglesqrt  26828  atansopn  26999  dvatan  27002  xrlimcnp  27035  efrlim  27036  lgamucov  27104  ftalem3  27141  vmcn  30904  dipcn  30925  ipasslem7  31041  ipasslem8  31042  occllem  31508  nlelchi  32266  tpr2rico  34211  rmulccn  34227  raddcn  34228  cxpcncf1  34891  cvxpconn  35597  cvxsconn  35598  cnllysconn  35600  sinccvglem  36027  ivthALT  36700  knoppcnlem10  36945  knoppcnlem11  36946  broucube  38158  dvtan  38174  ftc1cnnc  38196  dvasin  38208  dvacos  38209  dvreasin  38210  dvreacos  38211  areacirclem1  38212  areacirclem2  38213  areacirclem4  38215  refsumcn  45615  fprodcnlem  46180  fprodcn  46181  fsumcncf  46457  ioccncflimc  46464  cncfuni  46465  icocncflimc  46468  cncfdmsn  46469  cncfiooicclem1  46472  cxpcncf2  46478  fprodsub2cncf  46484  fprodadd2cncf  46485  dvmptconst  46494  dvmptidg  46496  dvresntr  46497  itgsubsticclem  46554  dirkercncflem2  46683  dirkercncflem4  46685  dirkercncf  46686  fourierdlem32  46718  fourierdlem33  46719  fourierdlem62  46747  fourierdlem93  46778  fourierdlem101  46786