MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopon 24298
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 24293 . 2 fld ∈ TopSp
2 cnfldbas 20947 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfldtopn.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
42, 3istps 22435 . 2 (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
51, 4mpbi 229 1 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6543  cc 11107  TopOpenctopn 17366  fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826
This theorem is referenced by:  cnfldtop  24299  unicntop  24301  sszcld  24332  reperflem  24333  cnperf  24335  divcn  24383  fsumcn  24385  expcn  24387  divccn  24388  cncfcn1  24426  cncfmptc  24427  cncfmptid  24428  cncfmpt2f  24430  cdivcncf  24436  abscncfALT  24439  cncfcnvcn  24440  cnmptre  24442  iirevcn  24445  iihalf1cn  24447  iihalf2cn  24449  iimulcn  24453  icchmeo  24456  cnrehmeo  24468  cnheiborlem  24469  cnheibor  24470  cnllycmp  24471  evth  24474  evth2  24475  lebnumlem2  24477  reparphti  24512  pcoass  24539  mbfimaopnlem  25171  limcvallem  25387  ellimc2  25393  limcnlp  25394  limcflflem  25396  limcflf  25397  limcmo  25398  limcres  25402  cnplimc  25403  cnlimc  25404  limccnp  25407  limccnp2  25408  dvbss  25417  perfdvf  25419  recnperf  25421  dvreslem  25425  dvres2lem  25426  dvres3a  25430  dvidlem  25431  dvcnp2  25436  dvcn  25437  dvnres  25447  dvaddbr  25454  dvmulbr  25455  dvcmulf  25461  dvcobr  25462  dvcjbr  25465  dvrec  25471  dvmptid  25473  dvmptc  25474  dvmptres2  25478  dvmptcmul  25480  dvmptntr  25487  dvmptfsum  25491  dvcnvlem  25492  dvcnv  25493  dvexp3  25494  dveflem  25495  dvlipcn  25510  lhop1lem  25529  lhop2  25531  lhop  25532  dvcnvrelem2  25534  dvcnvre  25535  ftc1lem3  25554  ftc1cn  25559  plycn  25774  dvply1  25796  dvtaylp  25881  taylthlem1  25884  taylthlem2  25885  ulmdvlem3  25913  psercn2  25934  psercn  25937  pserdvlem2  25939  pserdv  25940  abelth  25952  pige3ALT  26028  logcn  26154  dvloglem  26155  dvlog  26158  dvlog2  26160  efopnlem2  26164  efopn  26165  logtayl  26167  dvcxp1  26245  cxpcn  26250  cxpcn2  26251  cxpcn3  26253  resqrtcn  26254  sqrtcn  26255  loglesqrt  26263  atansopn  26434  dvatan  26437  xrlimcnp  26470  efrlim  26471  lgamucov  26539  ftalem3  26576  vmcn  29947  dipcn  29968  ipasslem7  30084  ipasslem8  30085  occllem  30551  nlelchi  31309  tpr2rico  32887  rmulccn  32903  raddcn  32904  cxpcncf1  33602  cvxpconn  34228  cvxsconn  34229  cnllysconn  34231  sinccvglem  34652  gg-divcn  35158  gg-expcn  35159  gg-divccn  35160  gg-iihalf1cn  35162  gg-iihalf2cn  35163  gg-iimulcn  35164  gg-icchmeo  35165  gg-cnrehmeo  35166  gg-reparphti  35167  gg-mulcncf  35168  gg-dvcnp2  35169  gg-dvmulbr  35170  gg-dvcobr  35171  gg-plycn  35172  gg-psercn2  35173  gg-rmulccn  35174  gg-cxpcn  35179  ivthALT  35215  knoppcnlem10  35373  knoppcnlem11  35374  broucube  36517  dvtanlem  36532  dvtan  36533  ftc1cnnc  36555  dvasin  36567  dvacos  36568  dvreasin  36569  dvreacos  36570  areacirclem1  36571  areacirclem2  36572  areacirclem4  36574  refsumcn  43704  fprodcnlem  44305  fprodcn  44306  fsumcncf  44584  ioccncflimc  44591  cncfuni  44592  icocncflimc  44595  cncfdmsn  44596  cncfiooicclem1  44599  cxpcncf2  44605  fprodsub2cncf  44611  fprodadd2cncf  44612  dvmptconst  44621  dvmptidg  44623  dvresntr  44624  itgsubsticclem  44681  dirkercncflem2  44810  dirkercncflem4  44812  dirkercncf  44813  fourierdlem32  44845  fourierdlem33  44846  fourierdlem62  44874  fourierdlem93  44905  fourierdlem101  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator