Theorem cnfldtopon 25040

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 25035	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21621	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23191	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  ℂcc 11147  TopOpenctopn 17531  ℂ_fldccnfld 21617  TopOnctopon 23167  TopSpctps 23189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-rest 17532  df-topn 17533  df-topgen 17553  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-xms 24578  df-ms 24579

This theorem is used by:  cnfldtop  25041  unicntop  25043  sszcld  25076  reperflem  25077  cnperf  25079  divcn  25128  fsumcn  25130  expcn  25132  divccn  25133  cncfcn1  25171  cncfmptc  25172  cncfmptid  25173  cncfmpt2f  25175  cdivcncf  25181  abscncfALT  25184  cncfcnvcn  25185  cnmptre  25187  iirevcn  25190  iihalf1cn  25192  iihalf2cn  25194  iimulcn  25198  icchmeo  25201  cnrehmeo  25213  cnheiborlem  25214  cnheibor  25215  cnllycmp  25216  evth  25219  evth2  25220  lebnumlem2  25222  reparphti  25257  pcoass  25284  mulcncf  25706  mbfimaopnlem  25915  limcvallem  26130  ellimc2  26136  limcnlp  26137  limcflflem  26139  limcflf  26140  limcmo  26141  limcres  26145  cnplimc  26146  cnlimc  26147  limccnp  26150  limccnp2  26151  dvbss  26160  perfdvf  26162  recnperf  26164  dvreslem  26168  dvres2lem  26169  dvres3a  26173  dvidlem  26174  dvcnp2  26179  dvcn  26180  dvnres  26190  dvaddbr  26197  dvmulbr  26198  dvcmulf  26204  dvcobr  26205  dvcjbr  26208  dvrec  26214  dvmptid  26216  dvmptc  26217  dvmptres2  26221  dvmptcmul  26223  dvmptntr  26230  dvmptfsum  26234  dvcnvlem  26235  dvcnv  26236  dvexp3  26237  dveflem  26238  dvlipcn  26253  lhop1lem  26272  lhop2  26274  lhop  26275  dvcnvrelem2  26277  dvcnvre  26278  ftc1lem3  26297  ftc1cn  26302  plycn  26519  dvply1  26546  dvtaylp  26638  taylthlem1  26641  taylthlem2  26642  ulmdvlem3  26670  psercn2  26691  psercn  26694  pserdvlem2  26696  pserdv  26697  abelth  26709  pige3ALT  26789  logcn  26916  dvloglem  26917  dvlog  26920  dvlog2  26922  efopnlem2  26926  efopn  26927  logtayl  26929  dvcxp1  27009  cxpcn  27014  cxpcn2  27015  cxpcn3  27017  resqrtcn  27018  sqrtcn  27019  loglesqrt  27030  atansopn  27201  dvatan  27204  xrlimcnp  27237  efrlim  27238  lgamucov  27306  ftalem3  27343  vmcn  31212  dipcn  31233  ipasslem7  31349  ipasslem8  31350  occllem  31816  nlelchi  32574  tpr2rico  34455  rmulccn  34471  raddcn  34472  cxpcncf1  35136  cvxpconn  35904  cvxsconn  35905  cnllysconn  35907  sinccvglem  36334  ivthALT  37021  knoppcnlem10  37266  knoppcnlem11  37267  broucube  38468  dvtan  38484  ftc1cnnc  38506  dvasin  38518  dvacos  38519  dvreasin  38520  dvreacos  38521  areacirclem1  38522  areacirclem2  38523  areacirclem4  38525  refsumcn  45929  fprodcnlem  46494  fprodcn  46495  fsumcncf  46771  ioccncflimc  46778  cncfuni  46779  icocncflimc  46782  cncfdmsn  46783  cncfiooicclem1  46786  cxpcncf2  46792  fprodsub2cncf  46798  fprodadd2cncf  46799  dvmptconst  46808  dvmptidg  46810  dvresntr  46811  itgsubsticclem  46868  dirkercncflem2  46997  dirkercncflem4  46999  dirkercncf  47000  fourierdlem32  47032  fourierdlem33  47033  fourierdlem62  47061  fourierdlem93  47092  fourierdlem101  47100  dvsec  50754  dvcsc  50755  dvcot  50756