Theorem cnfldtopon 24908

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24903	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21495	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23060	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  TopOpenctopn 17474  ℂ_fldccnfld 21491  TopOnctopon 23036  TopSpctps 23058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-rest 17475  df-topn 17476  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-xms 24446  df-ms 24447

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24909  unicntop  24911  sszcld  24944  reperflem  24945  cnperf  24947  divcn  24996  fsumcn  24998  expcn  25000  divccn  25001  cncfcn1  25039  cncfmptc  25040  cncfmptid  25041  cncfmpt2f  25043  cdivcncf  25049  abscncfALT  25052  cncfcnvcn  25053  cnmptre  25055  iirevcn  25058  iihalf1cn  25060  iihalf2cn  25062  iimulcn  25066  icchmeo  25069  cnrehmeo  25081  cnheiborlem  25082  cnheibor  25083  cnllycmp  25084  evth  25087  evth2  25088  lebnumlem2  25090  reparphti  25125  pcoass  25152  mulcncf  25574  mbfimaopnlem  25783  limcvallem  25999  ellimc2  26005  limcnlp  26006  limcflflem  26008  limcflf  26009  limcmo  26010  limcres  26014  cnplimc  26015  cnlimc  26016  limccnp  26019  limccnp2  26020  dvbss  26029  perfdvf  26031  recnperf  26033  dvreslem  26037  dvres2lem  26038  dvres3a  26042  dvidlem  26043  dvcnp2  26048  dvcn  26049  dvnres  26059  dvaddbr  26066  dvmulbr  26067  dvcmulf  26073  dvcobr  26074  dvcjbr  26077  dvrec  26083  dvmptid  26085  dvmptc  26086  dvmptres2  26090  dvmptcmul  26092  dvmptntr  26099  dvmptfsum  26103  dvcnvlem  26104  dvcnv  26105  dvexp3  26106  dveflem  26107  dvlipcn  26122  lhop1lem  26141  lhop2  26143  lhop  26144  dvcnvrelem2  26146  dvcnvre  26147  ftc1lem3  26166  ftc1cn  26171  plycn  26387  dvply1  26414  dvtaylp  26499  taylthlem1  26502  taylthlem2  26503  ulmdvlem3  26531  psercn2  26552  psercn  26555  pserdvlem2  26557  pserdv  26558  abelth  26570  pige3ALT  26651  logcn  26778  dvloglem  26779  dvlog  26782  dvlog2  26784  efopnlem2  26788  efopn  26789  logtayl  26791  dvcxp1  26871  cxpcn  26876  cxpcn2  26877  cxpcn3  26879  resqrtcn  26880  sqrtcn  26881  loglesqrt  26892  atansopn  27063  dvatan  27066  xrlimcnp  27099  efrlim  27100  lgamucov  27168  ftalem3  27205  vmcn  30992  dipcn  31013  ipasslem7  31129  ipasslem8  31130  occllem  31596  nlelchi  32354  tpr2rico  34247  rmulccn  34263  raddcn  34264  cxpcncf1  34927  cvxpconn  35667  cvxsconn  35668  cnllysconn  35670  sinccvglem  36097  ivthALT  36769  knoppcnlem10  37014  knoppcnlem11  37015  broucube  38227  dvtan  38243  ftc1cnnc  38265  dvasin  38277  dvacos  38278  dvreasin  38279  dvreacos  38280  areacirclem1  38281  areacirclem2  38282  areacirclem4  38284  refsumcn  45676  fprodcnlem  46241  fprodcn  46242  fsumcncf  46518  ioccncflimc  46525  cncfuni  46526  icocncflimc  46529  cncfdmsn  46530  cncfiooicclem1  46533  cxpcncf2  46539  fprodsub2cncf  46545  fprodadd2cncf  46546  dvmptconst  46555  dvmptidg  46557  dvresntr  46558  itgsubsticclem  46615  dirkercncflem2  46744  dirkercncflem4  46746  dirkercncf  46747  fourierdlem32  46779  fourierdlem33  46780  fourierdlem62  46808  fourierdlem93  46839  fourierdlem101  46847