Theorem cnfldtopon 24724

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24719	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21311	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22876	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  ℂcc 11022  TopOpenctopn 17339  ℂ_fldccnfld 21307  TopOnctopon 22852  TopSpctps 22874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-xms 24262  df-ms 24263

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24725  unicntop  24727  sszcld  24760  reperflem  24761  cnperf  24763  divcnOLD  24811  divcn  24813  fsumcn  24815  expcn  24817  divccn  24818  expcnOLD  24819  divccnOLD  24820  cncfcn1  24858  cncfmptc  24859  cncfmptid  24860  cncfmpt2f  24862  cdivcncf  24868  abscncfALT  24872  cncfcnvcn  24873  cnmptre  24875  iirevcn  24878  iihalf1cn  24880  iihalf1cnOLD  24881  iihalf2cn  24883  iihalf2cnOLD  24884  iimulcn  24888  iimulcnOLD  24889  icchmeo  24892  icchmeoOLD  24893  cnrehmeo  24905  cnrehmeoOLD  24906  cnheiborlem  24907  cnheibor  24908  cnllycmp  24909  evth  24912  evth2  24913  lebnumlem2  24915  reparphti  24950  reparphtiOLD  24951  pcoass  24978  mulcncf  25400  mbfimaopnlem  25610  limcvallem  25826  ellimc2  25832  limcnlp  25833  limcflflem  25835  limcflf  25836  limcmo  25837  limcres  25841  cnplimc  25842  cnlimc  25843  limccnp  25846  limccnp2  25847  dvbss  25856  perfdvf  25858  recnperf  25860  dvreslem  25864  dvres2lem  25865  dvres3a  25869  dvidlem  25870  dvcnp2  25875  dvcnp2OLD  25876  dvcn  25877  dvnres  25887  dvaddbr  25894  dvmulbr  25895  dvmulbrOLD  25896  dvcmulf  25902  dvcobr  25903  dvcobrOLD  25904  dvcjbr  25907  dvrec  25913  dvmptid  25915  dvmptc  25916  dvmptres2  25920  dvmptcmul  25922  dvmptntr  25929  dvmptfsum  25933  dvcnvlem  25934  dvcnv  25935  dvexp3  25936  dveflem  25937  dvlipcn  25953  lhop1lem  25972  lhop2  25974  lhop  25975  dvcnvrelem2  25977  dvcnvre  25978  ftc1lem3  25999  ftc1cn  26004  plycn  26220  plycnOLD  26221  dvply1  26245  dvtaylp  26332  taylthlem1  26335  taylthlem2  26336  taylthlem2OLD  26337  ulmdvlem3  26365  psercn2  26386  psercn2OLD  26387  psercn  26390  pserdvlem2  26392  pserdv  26393  abelth  26405  pige3ALT  26483  logcn  26610  dvloglem  26611  dvlog  26614  dvlog2  26616  efopnlem2  26620  efopn  26621  logtayl  26623  dvcxp1  26703  cxpcn  26708  cxpcnOLD  26709  cxpcn2  26710  cxpcn3  26712  resqrtcn  26713  sqrtcn  26714  loglesqrt  26725  atansopn  26896  dvatan  26899  xrlimcnp  26932  efrlim  26933  efrlimOLD  26934  lgamucov  27002  ftalem3  27039  vmcn  30723  dipcn  30744  ipasslem7  30860  ipasslem8  30861  occllem  31327  nlelchi  32085  tpr2rico  34018  rmulccn  34034  raddcn  34035  cxpcncf1  34701  cvxpconn  35385  cvxsconn  35386  cnllysconn  35388  sinccvglem  35815  ivthALT  36478  knoppcnlem10  36645  knoppcnlem11  36646  broucube  37794  dvtan  37810  ftc1cnnc  37832  dvasin  37844  dvacos  37845  dvreasin  37846  dvreacos  37847  areacirclem1  37848  areacirclem2  37849  areacirclem4  37851  refsumcn  45217  fprodcnlem  45787  fprodcn  45788  fsumcncf  46064  ioccncflimc  46071  cncfuni  46072  icocncflimc  46075  cncfdmsn  46076  cncfiooicclem1  46079  cxpcncf2  46085  fprodsub2cncf  46091  fprodadd2cncf  46092  dvmptconst  46101  dvmptidg  46103  dvresntr  46104  itgsubsticclem  46161  dirkercncflem2  46290  dirkercncflem4  46292  dirkercncf  46293  fourierdlem32  46325  fourierdlem33  46326  fourierdlem62  46354  fourierdlem93  46385  fourierdlem101  46393