Theorem cnfldtopon 24703

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24698	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21300	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22854	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  TopOpenctopn 17360  ℂ_fldccnfld 21296  TopOnctopon 22830  TopSpctps 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-xms 24241  df-ms 24242

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24704  unicntop  24706  sszcld  24739  reperflem  24740  cnperf  24742  divcnOLD  24790  divcn  24792  fsumcn  24794  expcn  24796  divccn  24797  expcnOLD  24798  divccnOLD  24799  cncfcn1  24837  cncfmptc  24838  cncfmptid  24839  cncfmpt2f  24841  cdivcncf  24847  abscncfALT  24851  cncfcnvcn  24852  cnmptre  24854  iirevcn  24857  iihalf1cn  24859  iihalf1cnOLD  24860  iihalf2cn  24862  iihalf2cnOLD  24863  iimulcn  24867  iimulcnOLD  24868  icchmeo  24871  icchmeoOLD  24872  cnrehmeo  24884  cnrehmeoOLD  24885  cnheiborlem  24886  cnheibor  24887  cnllycmp  24888  evth  24891  evth2  24892  lebnumlem2  24894  reparphti  24929  reparphtiOLD  24930  pcoass  24957  mulcncf  25379  mbfimaopnlem  25589  limcvallem  25805  ellimc2  25811  limcnlp  25812  limcflflem  25814  limcflf  25815  limcmo  25816  limcres  25820  cnplimc  25821  cnlimc  25822  limccnp  25825  limccnp2  25826  dvbss  25835  perfdvf  25837  recnperf  25839  dvreslem  25843  dvres2lem  25844  dvres3a  25848  dvidlem  25849  dvcnp2  25854  dvcnp2OLD  25855  dvcn  25856  dvnres  25866  dvaddbr  25873  dvmulbr  25874  dvmulbrOLD  25875  dvcmulf  25881  dvcobr  25882  dvcobrOLD  25883  dvcjbr  25886  dvrec  25892  dvmptid  25894  dvmptc  25895  dvmptres2  25899  dvmptcmul  25901  dvmptntr  25908  dvmptfsum  25912  dvcnvlem  25913  dvcnv  25914  dvexp3  25915  dveflem  25916  dvlipcn  25932  lhop1lem  25951  lhop2  25953  lhop  25954  dvcnvrelem2  25956  dvcnvre  25957  ftc1lem3  25978  ftc1cn  25983  plycn  26199  plycnOLD  26200  dvply1  26224  dvtaylp  26311  taylthlem1  26314  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  ulmdvlem3  26344  psercn2  26365  psercn2OLD  26366  psercn  26369  pserdvlem2  26371  pserdv  26372  abelth  26384  pige3ALT  26462  logcn  26589  dvloglem  26590  dvlog  26593  dvlog2  26595  efopnlem2  26599  efopn  26600  logtayl  26602  dvcxp1  26682  cxpcn  26687  cxpcnOLD  26688  cxpcn2  26689  cxpcn3  26691  resqrtcn  26692  sqrtcn  26693  loglesqrt  26704  atansopn  26875  dvatan  26878  xrlimcnp  26911  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  lgamucov  26981  ftalem3  27018  vmcn  30678  dipcn  30699  ipasslem7  30815  ipasslem8  30816  occllem  31282  nlelchi  32040  tpr2rico  33895  rmulccn  33911  raddcn  33912  cxpcncf1  34579  cvxpconn  35222  cvxsconn  35223  cnllysconn  35225  sinccvglem  35652  ivthALT  36316  knoppcnlem10  36483  knoppcnlem11  36484  broucube  37641  dvtan  37657  ftc1cnnc  37679  dvasin  37691  dvacos  37692  dvreasin  37693  dvreacos  37694  areacirclem1  37695  areacirclem2  37696  areacirclem4  37698  refsumcn  45017  fprodcnlem  45590  fprodcn  45591  fsumcncf  45869  ioccncflimc  45876  cncfuni  45877  icocncflimc  45880  cncfdmsn  45881  cncfiooicclem1  45884  cxpcncf2  45890  fprodsub2cncf  45896  fprodadd2cncf  45897  dvmptconst  45906  dvmptidg  45908  dvresntr  45909  itgsubsticclem  45966  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem4  46097  dirkercncf  46098  fourierdlem32  46130  fourierdlem33  46131  fourierdlem62  46159  fourierdlem93  46190  fourierdlem101  46198