Theorem cnfldtopon 24668

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24663	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21265	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22819	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  TopOpenctopn 17325  ℂ_fldccnfld 21261  TopOnctopon 22795  TopSpctps 22817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-xms 24206  df-ms 24207

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24669  unicntop  24671  sszcld  24704  reperflem  24705  cnperf  24707  divcnOLD  24755  divcn  24757  fsumcn  24759  expcn  24761  divccn  24762  expcnOLD  24763  divccnOLD  24764  cncfcn1  24802  cncfmptc  24803  cncfmptid  24804  cncfmpt2f  24806  cdivcncf  24812  abscncfALT  24816  cncfcnvcn  24817  cnmptre  24819  iirevcn  24822  iihalf1cn  24824  iihalf1cnOLD  24825  iihalf2cn  24827  iihalf2cnOLD  24828  iimulcn  24832  iimulcnOLD  24833  icchmeo  24836  icchmeoOLD  24837  cnrehmeo  24849  cnrehmeoOLD  24850  cnheiborlem  24851  cnheibor  24852  cnllycmp  24853  evth  24856  evth2  24857  lebnumlem2  24859  reparphti  24894  reparphtiOLD  24895  pcoass  24922  mulcncf  25344  mbfimaopnlem  25554  limcvallem  25770  ellimc2  25776  limcnlp  25777  limcflflem  25779  limcflf  25780  limcmo  25781  limcres  25785  cnplimc  25786  cnlimc  25787  limccnp  25790  limccnp2  25791  dvbss  25800  perfdvf  25802  recnperf  25804  dvreslem  25808  dvres2lem  25809  dvres3a  25813  dvidlem  25814  dvcnp2  25819  dvcnp2OLD  25820  dvcn  25821  dvnres  25831  dvaddbr  25838  dvmulbr  25839  dvmulbrOLD  25840  dvcmulf  25846  dvcobr  25847  dvcobrOLD  25848  dvcjbr  25851  dvrec  25857  dvmptid  25859  dvmptc  25860  dvmptres2  25864  dvmptcmul  25866  dvmptntr  25873  dvmptfsum  25877  dvcnvlem  25878  dvcnv  25879  dvexp3  25880  dveflem  25881  dvlipcn  25897  lhop1lem  25916  lhop2  25918  lhop  25919  dvcnvrelem2  25921  dvcnvre  25922  ftc1lem3  25943  ftc1cn  25948  plycn  26164  plycnOLD  26165  dvply1  26189  dvtaylp  26276  taylthlem1  26279  taylthlem2  26280  taylthlem2OLD  26281  ulmdvlem3  26309  psercn2  26330  psercn2OLD  26331  psercn  26334  pserdvlem2  26336  pserdv  26337  abelth  26349  pige3ALT  26427  logcn  26554  dvloglem  26555  dvlog  26558  dvlog2  26560  efopnlem2  26564  efopn  26565  logtayl  26567  dvcxp1  26647  cxpcn  26652  cxpcnOLD  26653  cxpcn2  26654  cxpcn3  26656  resqrtcn  26657  sqrtcn  26658  loglesqrt  26669  atansopn  26840  dvatan  26843  xrlimcnp  26876  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  lgamucov  26946  ftalem3  26983  vmcn  30643  dipcn  30664  ipasslem7  30780  ipasslem8  30781  occllem  31247  nlelchi  32005  tpr2rico  33885  rmulccn  33901  raddcn  33902  cxpcncf1  34569  cvxpconn  35225  cvxsconn  35226  cnllysconn  35228  sinccvglem  35655  ivthALT  36319  knoppcnlem10  36486  knoppcnlem11  36487  broucube  37644  dvtan  37660  ftc1cnnc  37682  dvasin  37694  dvacos  37695  dvreasin  37696  dvreacos  37697  areacirclem1  37698  areacirclem2  37699  areacirclem4  37701  refsumcn  45018  fprodcnlem  45590  fprodcn  45591  fsumcncf  45869  ioccncflimc  45876  cncfuni  45877  icocncflimc  45880  cncfdmsn  45881  cncfiooicclem1  45884  cxpcncf2  45890  fprodsub2cncf  45896  fprodadd2cncf  45897  dvmptconst  45906  dvmptidg  45908  dvresntr  45909  itgsubsticclem  45966  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem4  46097  dirkercncf  46098  fourierdlem32  46130  fourierdlem33  46131  fourierdlem62  46159  fourierdlem93  46190  fourierdlem101  46198