Theorem cnfldtopon 24677

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24672	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21275	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22828	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271  TopOnctopon 22804  TopSpctps 22826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24678  unicntop  24680  sszcld  24713  reperflem  24714  cnperf  24716  divcnOLD  24764  divcn  24766  fsumcn  24768  expcn  24770  divccn  24771  expcnOLD  24772  divccnOLD  24773  cncfcn1  24811  cncfmptc  24812  cncfmptid  24813  cncfmpt2f  24815  cdivcncf  24821  abscncfALT  24825  cncfcnvcn  24826  cnmptre  24828  iirevcn  24831  iihalf1cn  24833  iihalf1cnOLD  24834  iihalf2cn  24836  iihalf2cnOLD  24837  iimulcn  24841  iimulcnOLD  24842  icchmeo  24845  icchmeoOLD  24846  cnrehmeo  24858  cnrehmeoOLD  24859  cnheiborlem  24860  cnheibor  24861  cnllycmp  24862  evth  24865  evth2  24866  lebnumlem2  24868  reparphti  24903  reparphtiOLD  24904  pcoass  24931  mulcncf  25353  mbfimaopnlem  25563  limcvallem  25779  ellimc2  25785  limcnlp  25786  limcflflem  25788  limcflf  25789  limcmo  25790  limcres  25794  cnplimc  25795  cnlimc  25796  limccnp  25799  limccnp2  25800  dvbss  25809  perfdvf  25811  recnperf  25813  dvreslem  25817  dvres2lem  25818  dvres3a  25822  dvidlem  25823  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  dvcn  25830  dvnres  25840  dvaddbr  25847  dvmulbr  25848  dvmulbrOLD  25849  dvcmulf  25855  dvcobr  25856  dvcobrOLD  25857  dvcjbr  25860  dvrec  25866  dvmptid  25868  dvmptc  25869  dvmptres2  25873  dvmptcmul  25875  dvmptntr  25882  dvmptfsum  25886  dvcnvlem  25887  dvcnv  25888  dvexp3  25889  dveflem  25890  dvlipcn  25906  lhop1lem  25925  lhop2  25927  lhop  25928  dvcnvrelem2  25930  dvcnvre  25931  ftc1lem3  25952  ftc1cn  25957  plycn  26173  plycnOLD  26174  dvply1  26198  dvtaylp  26285  taylthlem1  26288  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  ulmdvlem3  26318  psercn2  26339  psercn2OLD  26340  psercn  26343  pserdvlem2  26345  pserdv  26346  abelth  26358  pige3ALT  26436  logcn  26563  dvloglem  26564  dvlog  26567  dvlog2  26569  efopnlem2  26573  efopn  26574  logtayl  26576  dvcxp1  26656  cxpcn  26661  cxpcnOLD  26662  cxpcn2  26663  cxpcn3  26665  resqrtcn  26666  sqrtcn  26667  loglesqrt  26678  atansopn  26849  dvatan  26852  xrlimcnp  26885  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  lgamucov  26955  ftalem3  26992  vmcn  30635  dipcn  30656  ipasslem7  30772  ipasslem8  30773  occllem  31239  nlelchi  31997  tpr2rico  33909  rmulccn  33925  raddcn  33926  cxpcncf1  34593  cvxpconn  35236  cvxsconn  35237  cnllysconn  35239  sinccvglem  35666  ivthALT  36330  knoppcnlem10  36497  knoppcnlem11  36498  broucube  37655  dvtan  37671  ftc1cnnc  37693  dvasin  37705  dvacos  37706  dvreasin  37707  dvreacos  37708  areacirclem1  37709  areacirclem2  37710  areacirclem4  37712  refsumcn  45031  fprodcnlem  45604  fprodcn  45605  fsumcncf  45883  ioccncflimc  45890  cncfuni  45891  icocncflimc  45894  cncfdmsn  45895  cncfiooicclem1  45898  cxpcncf2  45904  fprodsub2cncf  45910  fprodadd2cncf  45911  dvmptconst  45920  dvmptidg  45922  dvresntr  45923  itgsubsticclem  45980  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  dirkercncf  46112  fourierdlem32  46144  fourierdlem33  46145  fourierdlem62  46173  fourierdlem93  46204  fourierdlem101  46212