Theorem cnfldtopon 24824

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24819	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21391	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22961	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937  TopSpctps 22959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24825  unicntop  24827  sszcld  24858  reperflem  24859  cnperf  24861  divcnOLD  24909  divcn  24911  fsumcn  24913  expcn  24915  divccn  24916  expcnOLD  24917  divccnOLD  24918  cncfcn1  24956  cncfmptc  24957  cncfmptid  24958  cncfmpt2f  24960  cdivcncf  24966  abscncfALT  24970  cncfcnvcn  24971  cnmptre  24973  iirevcn  24976  iihalf1cn  24978  iihalf1cnOLD  24979  iihalf2cn  24981  iihalf2cnOLD  24982  iimulcn  24986  iimulcnOLD  24987  icchmeo  24990  icchmeoOLD  24991  cnrehmeo  25003  cnrehmeoOLD  25004  cnheiborlem  25005  cnheibor  25006  cnllycmp  25007  evth  25010  evth2  25011  lebnumlem2  25013  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  pcoass  25076  mulcncf  25499  mbfimaopnlem  25709  limcvallem  25926  ellimc2  25932  limcnlp  25933  limcflflem  25935  limcflf  25936  limcmo  25937  limcres  25941  cnplimc  25942  cnlimc  25943  limccnp  25946  limccnp2  25947  dvbss  25956  perfdvf  25958  recnperf  25960  dvreslem  25964  dvres2lem  25965  dvres3a  25969  dvidlem  25970  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  dvcn  25977  dvnres  25987  dvaddbr  25994  dvmulbr  25995  dvmulbrOLD  25996  dvcmulf  26002  dvcobr  26003  dvcobrOLD  26004  dvcjbr  26007  dvrec  26013  dvmptid  26015  dvmptc  26016  dvmptres2  26020  dvmptcmul  26022  dvmptntr  26029  dvmptfsum  26033  dvcnvlem  26034  dvcnv  26035  dvexp3  26036  dveflem  26037  dvlipcn  26053  lhop1lem  26072  lhop2  26074  lhop  26075  dvcnvrelem2  26077  dvcnvre  26078  ftc1lem3  26099  ftc1cn  26104  plycn  26320  plycnOLD  26321  dvply1  26343  dvtaylp  26430  taylthlem1  26433  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ulmdvlem3  26463  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  psercn  26488  pserdvlem2  26490  pserdv  26491  abelth  26503  pige3ALT  26580  logcn  26707  dvloglem  26708  dvlog  26711  dvlog2  26713  efopnlem2  26717  efopn  26718  logtayl  26720  dvcxp1  26800  cxpcn  26805  cxpcnOLD  26806  cxpcn2  26807  cxpcn3  26809  resqrtcn  26810  sqrtcn  26811  loglesqrt  26822  atansopn  26993  dvatan  26996  xrlimcnp  27029  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  lgamucov  27099  ftalem3  27136  vmcn  30731  dipcn  30752  ipasslem7  30868  ipasslem8  30869  occllem  31335  nlelchi  32093  tpr2rico  33858  rmulccn  33874  raddcn  33875  cxpcncf1  34572  cvxpconn  35210  cvxsconn  35211  cnllysconn  35213  sinccvglem  35640  ivthALT  36301  knoppcnlem10  36468  knoppcnlem11  36469  broucube  37614  dvtanlem  37629  dvtan  37630  ftc1cnnc  37652  dvasin  37664  dvacos  37665  dvreasin  37666  dvreacos  37667  areacirclem1  37668  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  refsumcn  44930  fprodcnlem  45520  fprodcn  45521  fsumcncf  45799  ioccncflimc  45806  cncfuni  45807  icocncflimc  45810  cncfdmsn  45811  cncfiooicclem1  45814  cxpcncf2  45820  fprodsub2cncf  45826  fprodadd2cncf  45827  dvmptconst  45836  dvmptidg  45838  dvresntr  45839  itgsubsticclem  45896  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  dirkercncf  46028  fourierdlem32  46060  fourierdlem33  46061  fourierdlem62  46089  fourierdlem93  46120  fourierdlem101  46128