Theorem cnfldtopon 25128

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 25123	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21709	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23279	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  ℂcc 11222  TopOpenctopn 17618  ℂ_fldccnfld 21705  TopOnctopon 23255  TopSpctps 23277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-rest 17619  df-topn 17620  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-xms 24666  df-ms 24667

This theorem is used by:  cnfldtop  25129  unicntop  25131  sszcld  25164  reperflem  25165  cnperf  25167  divcn  25216  fsumcn  25218  expcn  25220  divccn  25221  cncfcn1  25259  cncfmptc  25260  cncfmptid  25261  cncfmpt2f  25263  cdivcncf  25269  abscncfALT  25272  cncfcnvcn  25273  cnmptre  25275  iirevcn  25278  iihalf1cn  25280  iihalf2cn  25282  iimulcn  25286  icchmeo  25289  cnrehmeo  25301  cnheiborlem  25302  cnheibor  25303  cnllycmp  25304  evth  25307  evth2  25308  lebnumlem2  25310  reparphti  25345  pcoass  25372  mulcncf  25794  mbfimaopnlem  26003  limcvallem  26218  ellimc2  26224  limcnlp  26225  limcflflem  26227  limcflf  26228  limcmo  26229  limcres  26233  cnplimc  26234  cnlimc  26235  limccnp  26238  limccnp2  26239  dvbss  26248  perfdvf  26250  recnperf  26252  dvreslem  26256  dvres2lem  26257  dvres3a  26261  dvidlem  26262  dvcnp2  26267  dvcn  26268  dvnres  26278  dvaddbr  26285  dvmulbr  26286  dvcmulf  26292  dvcobr  26293  dvcjbr  26296  dvrec  26302  dvmptid  26304  dvmptc  26305  dvmptres2  26309  dvmptcmul  26311  dvmptntr  26318  dvmptfsum  26322  dvcnvlem  26323  dvcnv  26324  dvexp3  26325  dveflem  26326  dvlipcn  26341  lhop1lem  26360  lhop2  26362  lhop  26363  dvcnvrelem2  26365  dvcnvre  26366  ftc1lem3  26385  ftc1cn  26390  plycn  26607  dvply1  26632  dvtaylp  26724  taylthlem1  26727  taylthlem2  26728  ulmdvlem3  26756  psercn2  26777  psercn  26780  pserdvlem2  26782  pserdv  26783  abelth  26795  pige3ALT  26875  logcn  27002  dvloglem  27003  dvlog  27006  dvlog2  27008  efopnlem2  27012  efopn  27013  logtayl  27015  dvcxp1  27095  cxpcn  27100  cxpcn2  27101  cxpcn3  27103  resqrtcn  27104  sqrtcn  27105  loglesqrt  27116  atansopn  27287  dvatan  27290  xrlimcnp  27323  efrlim  27324  lgamucov  27392  ftalem3  27429  vmcn  31328  dipcn  31349  ipasslem7  31465  ipasslem8  31466  occllem  31932  nlelchi  32690  tpr2rico  34611  rmulccn  34627  raddcn  34628  cxpcncf1  35291  cvxpconn  36173  cvxsconn  36174  cnllysconn  36176  sinccvglem  36603  ivthALT  37300  knoppcnlem10  37545  knoppcnlem11  37546  broucube  38763  dvtan  38779  ftc1cnnc  38801  dvasin  38813  dvacos  38814  dvreasin  38815  dvreacos  38816  areacirclem1  38817  areacirclem2  38818  areacirclem4  38820  refsumcn  46250  fprodcnlem  46814  fprodcn  46815  fsumcncf  47091  ioccncflimc  47098  cncfuni  47099  icocncflimc  47102  cncfdmsn  47103  cncfiooicclem1  47106  cxpcncf2  47112  fprodsub2cncf  47118  fprodadd2cncf  47119  dvmptconst  47128  dvmptidg  47130  dvresntr  47131  itgsubsticclem  47188  dirkercncflem2  47317  dirkercncflem4  47319  dirkercncf  47320  fourierdlem32  47352  fourierdlem33  47353  fourierdlem62  47381  fourierdlem93  47412  fourierdlem101  47420  dvsec  51134  dvcsc  51135  dvcot  51136