Theorem cnfldtopon 25101

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 25096	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21682	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23252	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678  TopOnctopon 23228  TopSpctps 23250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-ms 24640

This theorem is used by:  cnfldtop  25102  unicntop  25104  sszcld  25137  reperflem  25138  cnperf  25140  divcn  25189  fsumcn  25191  expcn  25193  divccn  25194  cncfcn1  25232  cncfmptc  25233  cncfmptid  25234  cncfmpt2f  25236  cdivcncf  25242  abscncfALT  25245  cncfcnvcn  25246  cnmptre  25248  iirevcn  25251  iihalf1cn  25253  iihalf2cn  25255  iimulcn  25259  icchmeo  25262  cnrehmeo  25274  cnheiborlem  25275  cnheibor  25276  cnllycmp  25277  evth  25280  evth2  25281  lebnumlem2  25283  reparphti  25318  pcoass  25345  mulcncf  25767  mbfimaopnlem  25976  limcvallem  26191  ellimc2  26197  limcnlp  26198  limcflflem  26200  limcflf  26201  limcmo  26202  limcres  26206  cnplimc  26207  cnlimc  26208  limccnp  26211  limccnp2  26212  dvbss  26221  perfdvf  26223  recnperf  26225  dvreslem  26229  dvres2lem  26230  dvres3a  26234  dvidlem  26235  dvcnp2  26240  dvcn  26241  dvnres  26251  dvaddbr  26258  dvmulbr  26259  dvcmulf  26265  dvcobr  26266  dvcjbr  26269  dvrec  26275  dvmptid  26277  dvmptc  26278  dvmptres2  26282  dvmptcmul  26284  dvmptntr  26291  dvmptfsum  26295  dvcnvlem  26296  dvcnv  26297  dvexp3  26298  dveflem  26299  dvlipcn  26314  lhop1lem  26333  lhop2  26335  lhop  26336  dvcnvrelem2  26338  dvcnvre  26339  ftc1lem3  26358  ftc1cn  26363  plycn  26580  dvply1  26605  dvtaylp  26697  taylthlem1  26700  taylthlem2  26701  ulmdvlem3  26729  psercn2  26750  psercn  26753  pserdvlem2  26755  pserdv  26756  abelth  26768  pige3ALT  26848  logcn  26975  dvloglem  26976  dvlog  26979  dvlog2  26981  efopnlem2  26985  efopn  26986  logtayl  26988  dvcxp1  27068  cxpcn  27073  cxpcn2  27074  cxpcn3  27076  resqrtcn  27077  sqrtcn  27078  loglesqrt  27089  atansopn  27260  dvatan  27263  xrlimcnp  27296  efrlim  27297  lgamucov  27365  ftalem3  27402  vmcn  31301  dipcn  31322  ipasslem7  31438  ipasslem8  31439  occllem  31905  nlelchi  32663  tpr2rico  34544  rmulccn  34560  raddcn  34561  cxpcncf1  35224  cvxpconn  36007  cvxsconn  36008  cnllysconn  36010  sinccvglem  36437  ivthALT  37123  knoppcnlem10  37368  knoppcnlem11  37369  broucube  38573  dvtan  38589  ftc1cnnc  38611  dvasin  38623  dvacos  38624  dvreasin  38625  dvreacos  38626  areacirclem1  38627  areacirclem2  38628  areacirclem4  38630  refsumcn  46047  fprodcnlem  46611  fprodcn  46612  fsumcncf  46888  ioccncflimc  46895  cncfuni  46896  icocncflimc  46899  cncfdmsn  46900  cncfiooicclem1  46903  cxpcncf2  46909  fprodsub2cncf  46915  fprodadd2cncf  46916  dvmptconst  46925  dvmptidg  46927  dvresntr  46928  itgsubsticclem  46985  dirkercncflem2  47114  dirkercncflem4  47116  dirkercncf  47117  fourierdlem32  47149  fourierdlem33  47150  fourierdlem62  47178  fourierdlem93  47209  fourierdlem101  47217  dvsec  50856  dvcsc  50857  dvcot  50858