Theorem cnfldtopon 24747

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24742	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21356	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22899	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352  TopOnctopon 22875  TopSpctps 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24748  unicntop  24750  sszcld  24783  reperflem  24784  cnperf  24786  divcn  24835  fsumcn  24837  expcn  24839  divccn  24840  cncfcn1  24878  cncfmptc  24879  cncfmptid  24880  cncfmpt2f  24882  cdivcncf  24888  abscncfALT  24891  cncfcnvcn  24892  cnmptre  24894  iirevcn  24897  iihalf1cn  24899  iihalf2cn  24901  iimulcn  24905  icchmeo  24908  cnrehmeo  24920  cnheiborlem  24921  cnheibor  24922  cnllycmp  24923  evth  24926  evth2  24927  lebnumlem2  24929  reparphti  24964  pcoass  24991  mulcncf  25413  mbfimaopnlem  25622  limcvallem  25838  ellimc2  25844  limcnlp  25845  limcflflem  25847  limcflf  25848  limcmo  25849  limcres  25853  cnplimc  25854  cnlimc  25855  limccnp  25858  limccnp2  25859  dvbss  25868  perfdvf  25870  recnperf  25872  dvreslem  25876  dvres2lem  25877  dvres3a  25881  dvidlem  25882  dvcnp2  25887  dvcn  25888  dvnres  25898  dvaddbr  25905  dvmulbr  25906  dvcmulf  25912  dvcobr  25913  dvcjbr  25916  dvrec  25922  dvmptid  25924  dvmptc  25925  dvmptres2  25929  dvmptcmul  25931  dvmptntr  25938  dvmptfsum  25942  dvcnvlem  25943  dvcnv  25944  dvexp3  25945  dveflem  25946  dvlipcn  25961  lhop1lem  25980  lhop2  25982  lhop  25983  dvcnvrelem2  25985  dvcnvre  25986  ftc1lem3  26005  ftc1cn  26010  plycn  26226  dvply1  26250  dvtaylp  26335  taylthlem1  26338  taylthlem2  26339  ulmdvlem3  26367  psercn2  26388  psercn  26391  pserdvlem2  26393  pserdv  26394  abelth  26406  pige3ALT  26484  logcn  26611  dvloglem  26612  dvlog  26615  dvlog2  26617  efopnlem2  26621  efopn  26622  logtayl  26624  dvcxp1  26704  cxpcn  26709  cxpcn2  26710  cxpcn3  26712  resqrtcn  26713  sqrtcn  26714  loglesqrt  26725  atansopn  26896  dvatan  26899  xrlimcnp  26932  efrlim  26933  lgamucov  27001  ftalem3  27038  vmcn  30770  dipcn  30791  ipasslem7  30907  ipasslem8  30908  occllem  31374  nlelchi  32132  tpr2rico  34056  rmulccn  34072  raddcn  34073  cxpcncf1  34739  cvxpconn  35424  cvxsconn  35425  cnllysconn  35427  sinccvglem  35854  ivthALT  36517  knoppcnlem10  36762  knoppcnlem11  36763  broucube  37975  dvtan  37991  ftc1cnnc  38013  dvasin  38025  dvacos  38026  dvreasin  38027  dvreacos  38028  areacirclem1  38029  areacirclem2  38030  areacirclem4  38032  refsumcn  45461  fprodcnlem  46029  fprodcn  46030  fsumcncf  46306  ioccncflimc  46313  cncfuni  46314  icocncflimc  46317  cncfdmsn  46318  cncfiooicclem1  46321  cxpcncf2  46327  fprodsub2cncf  46333  fprodadd2cncf  46334  dvmptconst  46343  dvmptidg  46345  dvresntr  46346  itgsubsticclem  46403  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  dirkercncf  46535  fourierdlem32  46567  fourierdlem33  46568  fourierdlem62  46596  fourierdlem93  46627  fourierdlem101  46635