Theorem cnfldtopon 24995

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24990	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21581	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 23146	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6541  ℂcc 11118  TopOpenctopn 17501  ℂ_fldccnfld 21577  TopOnctopon 23122  TopSpctps 23144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-inf 9411  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-fz 13557  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-struct 17234  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-rest 17502  df-topn 17503  df-topgen 17523  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-cnfld 21578  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-xms 24533  df-ms 24534

This theorem is used by:  cnfldtop  24996  unicntop  24998  sszcld  25031  reperflem  25032  cnperf  25034  divcn  25083  fsumcn  25085  expcn  25087  divccn  25088  cncfcn1  25126  cncfmptc  25127  cncfmptid  25128  cncfmpt2f  25130  cdivcncf  25136  abscncfALT  25139  cncfcnvcn  25140  cnmptre  25142  iirevcn  25145  iihalf1cn  25147  iihalf2cn  25149  iimulcn  25153  icchmeo  25156  cnrehmeo  25168  cnheiborlem  25169  cnheibor  25170  cnllycmp  25171  evth  25174  evth2  25175  lebnumlem2  25177  reparphti  25212  pcoass  25239  mulcncf  25661  mbfimaopnlem  25870  limcvallem  26086  ellimc2  26092  limcnlp  26093  limcflflem  26095  limcflf  26096  limcmo  26097  limcres  26101  cnplimc  26102  cnlimc  26103  limccnp  26106  limccnp2  26107  dvbss  26116  perfdvf  26118  recnperf  26120  dvreslem  26124  dvres2lem  26125  dvres3a  26129  dvidlem  26130  dvcnp2  26135  dvcn  26136  dvnres  26146  dvaddbr  26153  dvmulbr  26154  dvcmulf  26160  dvcobr  26161  dvcjbr  26164  dvrec  26170  dvmptid  26172  dvmptc  26173  dvmptres2  26177  dvmptcmul  26179  dvmptntr  26186  dvmptfsum  26190  dvcnvlem  26191  dvcnv  26192  dvexp3  26193  dveflem  26194  dvlipcn  26209  lhop1lem  26228  lhop2  26230  lhop  26231  dvcnvrelem2  26233  dvcnvre  26234  ftc1lem3  26253  ftc1cn  26258  plycn  26474  dvply1  26501  dvtaylp  26589  taylthlem1  26592  taylthlem2  26593  ulmdvlem3  26621  psercn2  26642  psercn  26645  pserdvlem2  26647  pserdv  26648  abelth  26660  pige3ALT  26741  logcn  26868  dvloglem  26869  dvlog  26872  dvlog2  26874  efopnlem2  26878  efopn  26879  logtayl  26881  dvcxp1  26961  cxpcn  26966  cxpcn2  26967  cxpcn3  26969  resqrtcn  26970  sqrtcn  26971  loglesqrt  26982  atansopn  27153  dvatan  27156  xrlimcnp  27189  efrlim  27190  lgamucov  27258  ftalem3  27295  vmcn  31127  dipcn  31148  ipasslem7  31264  ipasslem8  31265  occllem  31731  nlelchi  32489  tpr2rico  34371  rmulccn  34387  raddcn  34388  cxpcncf1  35052  cvxpconn  35776  cvxsconn  35777  cnllysconn  35779  sinccvglem  36206  ivthALT  36908  knoppcnlem10  37153  knoppcnlem11  37154  broucube  38367  dvtan  38383  ftc1cnnc  38405  dvasin  38417  dvacos  38418  dvreasin  38419  dvreacos  38420  areacirclem1  38421  areacirclem2  38422  areacirclem4  38424  refsumcn  45828  fprodcnlem  46393  fprodcn  46394  fsumcncf  46670  ioccncflimc  46677  cncfuni  46678  icocncflimc  46681  cncfdmsn  46682  cncfiooicclem1  46685  cxpcncf2  46691  fprodsub2cncf  46697  fprodadd2cncf  46698  dvmptconst  46707  dvmptidg  46709  dvresntr  46710  itgsubsticclem  46767  dirkercncflem2  46896  dirkercncflem4  46898  dirkercncf  46899  fourierdlem32  46931  fourierdlem33  46932  fourierdlem62  46960  fourierdlem93  46991  fourierdlem101  46999