MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopon 23386
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 23381 . 2 fld ∈ TopSp
2 cnfldbas 20093 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfldtopn.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
42, 3istps 21537 . 2 (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
51, 4mpbi 233 1 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  cc 10524  TopOpenctopn 16686  fldccnfld 20089  TopOnctopon 21513  TopSpctps 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-rest 16687  df-topn 16688  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926
This theorem is referenced by:  cnfldtop  23387  unicntop  23389  sszcld  23420  reperflem  23421  cnperf  23423  divcn  23471  fsumcn  23473  expcn  23475  divccn  23476  cncfcn1  23514  cncfmptc  23515  cncfmptid  23516  cncfmpt2f  23518  cdivcncf  23524  abscncfALT  23527  cncfcnvcn  23528  cnmptre  23530  iirevcn  23533  iihalf1cn  23535  iihalf2cn  23537  iimulcn  23541  icchmeo  23544  cnrehmeo  23556  cnheiborlem  23557  cnheibor  23558  cnllycmp  23559  evth  23562  evth2  23563  lebnumlem2  23565  reparphti  23600  pcoass  23627  mbfimaopnlem  24257  limcvallem  24472  ellimc2  24478  limcnlp  24479  limcflflem  24481  limcflf  24482  limcmo  24483  limcres  24487  cnplimc  24488  cnlimc  24489  limccnp  24492  limccnp2  24493  dvbss  24502  perfdvf  24504  recnperf  24506  dvreslem  24510  dvres2lem  24511  dvres3a  24515  dvidlem  24516  dvcnp2  24521  dvcn  24522  dvnres  24532  dvaddbr  24539  dvmulbr  24540  dvcmulf  24546  dvcobr  24547  dvcjbr  24550  dvrec  24556  dvmptid  24558  dvmptc  24559  dvmptres2  24563  dvmptcmul  24565  dvmptntr  24572  dvmptfsum  24576  dvcnvlem  24577  dvcnv  24578  dvexp3  24579  dveflem  24580  dvlipcn  24595  lhop1lem  24614  lhop2  24616  lhop  24617  dvcnvrelem2  24619  dvcnvre  24620  ftc1lem3  24639  ftc1cn  24644  plycn  24856  dvply1  24878  dvtaylp  24963  taylthlem1  24966  taylthlem2  24967  ulmdvlem3  24995  psercn2  25016  psercn  25019  pserdvlem2  25021  pserdv  25022  abelth  25034  pige3ALT  25110  logcn  25236  dvloglem  25237  dvlog  25240  dvlog2  25242  efopnlem2  25246  efopn  25247  logtayl  25249  dvcxp1  25327  cxpcn  25332  cxpcn2  25333  cxpcn3  25335  resqrtcn  25336  sqrtcn  25337  loglesqrt  25345  atansopn  25516  dvatan  25519  xrlimcnp  25552  efrlim  25553  lgamucov  25621  ftalem3  25658  vmcn  28480  dipcn  28501  ipasslem7  28617  ipasslem8  28618  occllem  29084  nlelchi  29842  tpr2rico  31229  rmulccn  31245  raddcn  31246  cxpcncf1  31940  cvxpconn  32563  cvxsconn  32564  cnllysconn  32566  sinccvglem  32989  ivthALT  33757  knoppcnlem10  33915  knoppcnlem11  33916  broucube  35049  dvtanlem  35064  dvtan  35065  ftc1cnnc  35087  dvasin  35099  dvacos  35100  dvreasin  35101  dvreacos  35102  areacirclem1  35103  areacirclem2  35104  areacirclem4  35106  refsumcn  41593  fprodcnlem  42180  fprodcn  42181  fsumcncf  42459  ioccncflimc  42466  cncfuni  42467  icocncflimc  42470  cncfdmsn  42471  cncfiooicclem1  42474  cxpcncf2  42480  fprodsub2cncf  42486  fprodadd2cncf  42487  dvmptconst  42496  dvmptidg  42498  dvresntr  42499  itgsubsticclem  42556  dirkercncflem2  42685  dirkercncflem4  42687  dirkercncf  42688  fourierdlem32  42720  fourierdlem33  42721  fourierdlem62  42749  fourierdlem93  42780  fourierdlem101  42788
  Copyright terms: Public domain W3C validator