Theorem cnfldtopon 24803

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24798	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21368	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22940	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24804  unicntop  24806  sszcld  24839  reperflem  24840  cnperf  24842  divcnOLD  24890  divcn  24892  fsumcn  24894  expcn  24896  divccn  24897  expcnOLD  24898  divccnOLD  24899  cncfcn1  24937  cncfmptc  24938  cncfmptid  24939  cncfmpt2f  24941  cdivcncf  24947  abscncfALT  24951  cncfcnvcn  24952  cnmptre  24954  iirevcn  24957  iihalf1cn  24959  iihalf1cnOLD  24960  iihalf2cn  24962  iihalf2cnOLD  24963  iimulcn  24967  iimulcnOLD  24968  icchmeo  24971  icchmeoOLD  24972  cnrehmeo  24984  cnrehmeoOLD  24985  cnheiborlem  24986  cnheibor  24987  cnllycmp  24988  evth  24991  evth2  24992  lebnumlem2  24994  reparphti  25029  reparphtiOLD  25030  pcoass  25057  mulcncf  25480  mbfimaopnlem  25690  limcvallem  25906  ellimc2  25912  limcnlp  25913  limcflflem  25915  limcflf  25916  limcmo  25917  limcres  25921  cnplimc  25922  cnlimc  25923  limccnp  25926  limccnp2  25927  dvbss  25936  perfdvf  25938  recnperf  25940  dvreslem  25944  dvres2lem  25945  dvres3a  25949  dvidlem  25950  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  dvcn  25957  dvnres  25967  dvaddbr  25974  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  dvcmulf  25982  dvcobr  25983  dvcobrOLD  25984  dvcjbr  25987  dvrec  25993  dvmptid  25995  dvmptc  25996  dvmptres2  26000  dvmptcmul  26002  dvmptntr  26009  dvmptfsum  26013  dvcnvlem  26014  dvcnv  26015  dvexp3  26016  dveflem  26017  dvlipcn  26033  lhop1lem  26052  lhop2  26054  lhop  26055  dvcnvrelem2  26057  dvcnvre  26058  ftc1lem3  26079  ftc1cn  26084  plycn  26300  plycnOLD  26301  dvply1  26325  dvtaylp  26412  taylthlem1  26415  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  ulmdvlem3  26445  psercn2  26466  psercn2OLD  26467  psercn  26470  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  abelth  26485  pige3ALT  26562  logcn  26689  dvloglem  26690  dvlog  26693  dvlog2  26695  efopnlem2  26699  efopn  26700  logtayl  26702  dvcxp1  26782  cxpcn  26787  cxpcnOLD  26788  cxpcn2  26789  cxpcn3  26791  resqrtcn  26792  sqrtcn  26793  loglesqrt  26804  atansopn  26975  dvatan  26978  xrlimcnp  27011  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgamucov  27081  ftalem3  27118  vmcn  30718  dipcn  30739  ipasslem7  30855  ipasslem8  30856  occllem  31322  nlelchi  32080  tpr2rico  33911  rmulccn  33927  raddcn  33928  cxpcncf1  34610  cvxpconn  35247  cvxsconn  35248  cnllysconn  35250  sinccvglem  35677  ivthALT  36336  knoppcnlem10  36503  knoppcnlem11  36504  broucube  37661  dvtan  37677  ftc1cnnc  37699  dvasin  37711  dvacos  37712  dvreasin  37713  dvreacos  37714  areacirclem1  37715  areacirclem2  37716  areacirclem4  37718  refsumcn  45035  fprodcnlem  45614  fprodcn  45615  fsumcncf  45893  ioccncflimc  45900  cncfuni  45901  icocncflimc  45904  cncfdmsn  45905  cncfiooicclem1  45908  cxpcncf2  45914  fprodsub2cncf  45920  fprodadd2cncf  45921  dvmptconst  45930  dvmptidg  45932  dvresntr  45933  itgsubsticclem  45990  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  dirkercncf  46122  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem62  46183  fourierdlem93  46214  fourierdlem101  46222