Theorem cnfldtopon 24670

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24665	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21268	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22821	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21264  TopOnctopon 22797  TopSpctps 22819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-xms 24208  df-ms 24209

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24671  unicntop  24673  sszcld  24706  reperflem  24707  cnperf  24709  divcnOLD  24757  divcn  24759  fsumcn  24761  expcn  24763  divccn  24764  expcnOLD  24765  divccnOLD  24766  cncfcn1  24804  cncfmptc  24805  cncfmptid  24806  cncfmpt2f  24808  cdivcncf  24814  abscncfALT  24818  cncfcnvcn  24819  cnmptre  24821  iirevcn  24824  iihalf1cn  24826  iihalf1cnOLD  24827  iihalf2cn  24829  iihalf2cnOLD  24830  iimulcn  24834  iimulcnOLD  24835  icchmeo  24838  icchmeoOLD  24839  cnrehmeo  24851  cnrehmeoOLD  24852  cnheiborlem  24853  cnheibor  24854  cnllycmp  24855  evth  24858  evth2  24859  lebnumlem2  24861  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  pcoass  24924  mulcncf  25346  mbfimaopnlem  25556  limcvallem  25772  ellimc2  25778  limcnlp  25779  limcflflem  25781  limcflf  25782  limcmo  25783  limcres  25787  cnplimc  25788  cnlimc  25789  limccnp  25792  limccnp2  25793  dvbss  25802  perfdvf  25804  recnperf  25806  dvreslem  25810  dvres2lem  25811  dvres3a  25815  dvidlem  25816  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  dvcn  25823  dvnres  25833  dvaddbr  25840  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  dvcmulf  25848  dvcobr  25849  dvcobrOLD  25850  dvcjbr  25853  dvrec  25859  dvmptid  25861  dvmptc  25862  dvmptres2  25866  dvmptcmul  25868  dvmptntr  25875  dvmptfsum  25879  dvcnvlem  25880  dvcnv  25881  dvexp3  25882  dveflem  25883  dvlipcn  25899  lhop1lem  25918  lhop2  25920  lhop  25921  dvcnvrelem2  25923  dvcnvre  25924  ftc1lem3  25945  ftc1cn  25950  plycn  26166  plycnOLD  26167  dvply1  26191  dvtaylp  26278  taylthlem1  26281  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  ulmdvlem3  26311  psercn2  26332  psercn2OLD  26333  psercn  26336  pserdvlem2  26338  pserdv  26339  abelth  26351  pige3ALT  26429  logcn  26556  dvloglem  26557  dvlog  26560  dvlog2  26562  efopnlem2  26566  efopn  26567  logtayl  26569  dvcxp1  26649  cxpcn  26654  cxpcnOLD  26655  cxpcn2  26656  cxpcn3  26658  resqrtcn  26659  sqrtcn  26660  loglesqrt  26671  atansopn  26842  dvatan  26845  xrlimcnp  26878  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  lgamucov  26948  ftalem3  26985  vmcn  30628  dipcn  30649  ipasslem7  30765  ipasslem8  30766  occllem  31232  nlelchi  31990  tpr2rico  33902  rmulccn  33918  raddcn  33919  cxpcncf1  34586  cvxpconn  35229  cvxsconn  35230  cnllysconn  35232  sinccvglem  35659  ivthALT  36323  knoppcnlem10  36490  knoppcnlem11  36491  broucube  37648  dvtan  37664  ftc1cnnc  37686  dvasin  37698  dvacos  37699  dvreasin  37700  dvreacos  37701  areacirclem1  37702  areacirclem2  37703  areacirclem4  37705  refsumcn  45024  fprodcnlem  45597  fprodcn  45598  fsumcncf  45876  ioccncflimc  45883  cncfuni  45884  icocncflimc  45887  cncfdmsn  45888  cncfiooicclem1  45891  cxpcncf2  45897  fprodsub2cncf  45903  fprodadd2cncf  45904  dvmptconst  45913  dvmptidg  45915  dvresntr  45916  itgsubsticclem  45973  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  dirkercncf  46105  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem62  46166  fourierdlem93  46197  fourierdlem101  46205