Theorem cnfldtopon 24761

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24756	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21352	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22913	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  ℂcc 11031  TopOpenctopn 17379  ℂ_fldccnfld 21348  TopOnctopon 22889  TopSpctps 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-xms 24299  df-ms 24300

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24762  unicntop  24764  sszcld  24797  reperflem  24798  cnperf  24800  divcn  24849  fsumcn  24851  expcn  24853  divccn  24854  cncfcn1  24892  cncfmptc  24893  cncfmptid  24894  cncfmpt2f  24896  cdivcncf  24902  abscncfALT  24905  cncfcnvcn  24906  cnmptre  24908  iirevcn  24911  iihalf1cn  24913  iihalf2cn  24915  iimulcn  24919  icchmeo  24922  cnrehmeo  24934  cnheiborlem  24935  cnheibor  24936  cnllycmp  24937  evth  24940  evth2  24941  lebnumlem2  24943  reparphti  24978  pcoass  25005  mulcncf  25427  mbfimaopnlem  25636  limcvallem  25852  ellimc2  25858  limcnlp  25859  limcflflem  25861  limcflf  25862  limcmo  25863  limcres  25867  cnplimc  25868  cnlimc  25869  limccnp  25872  limccnp2  25873  dvbss  25882  perfdvf  25884  recnperf  25886  dvreslem  25890  dvres2lem  25891  dvres3a  25895  dvidlem  25896  dvcnp2  25901  dvcn  25902  dvnres  25912  dvaddbr  25919  dvmulbr  25920  dvcmulf  25926  dvcobr  25927  dvcjbr  25930  dvrec  25936  dvmptid  25938  dvmptc  25939  dvmptres2  25943  dvmptcmul  25945  dvmptntr  25952  dvmptfsum  25956  dvcnvlem  25957  dvcnv  25958  dvexp3  25959  dveflem  25960  dvlipcn  25975  lhop1lem  25994  lhop2  25996  lhop  25997  dvcnvrelem2  25999  dvcnvre  26000  ftc1lem3  26019  ftc1cn  26024  plycn  26240  dvply1  26264  dvtaylp  26351  taylthlem1  26354  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  ulmdvlem3  26384  psercn2  26405  psercn  26408  pserdvlem2  26410  pserdv  26411  abelth  26423  pige3ALT  26501  logcn  26628  dvloglem  26629  dvlog  26632  dvlog2  26634  efopnlem2  26638  efopn  26639  logtayl  26641  dvcxp1  26721  cxpcn  26726  cxpcn2  26727  cxpcn3  26729  resqrtcn  26730  sqrtcn  26731  loglesqrt  26742  atansopn  26913  dvatan  26916  xrlimcnp  26949  efrlim  26950  efrlimOLD  26951  lgamucov  27019  ftalem3  27056  vmcn  30789  dipcn  30810  ipasslem7  30926  ipasslem8  30927  occllem  31393  nlelchi  32151  tpr2rico  34076  rmulccn  34092  raddcn  34093  cxpcncf1  34759  cvxpconn  35444  cvxsconn  35445  cnllysconn  35447  sinccvglem  35874  ivthALT  36537  knoppcnlem10  36782  knoppcnlem11  36783  broucube  37993  dvtan  38009  ftc1cnnc  38031  dvasin  38043  dvacos  38044  dvreasin  38045  dvreacos  38046  areacirclem1  38047  areacirclem2  38048  areacirclem4  38050  refsumcn  45483  fprodcnlem  46051  fprodcn  46052  fsumcncf  46328  ioccncflimc  46335  cncfuni  46336  icocncflimc  46339  cncfdmsn  46340  cncfiooicclem1  46343  cxpcncf2  46349  fprodsub2cncf  46355  fprodadd2cncf  46356  dvmptconst  46365  dvmptidg  46367  dvresntr  46368  itgsubsticclem  46425  dirkercncflem2  46554  dirkercncflem4  46556  dirkercncf  46557  fourierdlem32  46589  fourierdlem33  46590  fourierdlem62  46618  fourierdlem93  46649  fourierdlem101  46657