Theorem cnfldtopon 24059

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24054	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 20714	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22196	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 229	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6491  ℂcc 10982  TopOpenctopn 17237  ℂ_fldccnfld 20710  TopOnctopon 22172  TopSpctps 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-fz 13353  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-struct 16953  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-rest 17238  df-topn 17239  df-topgen 17259  df-psmet 20702  df-xmet 20703  df-met 20704  df-bl 20705  df-mopn 20706  df-cnfld 20711  df-top 22156  df-topon 22173  df-topsp 22195  df-bases 22209  df-xms 23586  df-ms 23587

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24060  unicntop  24062  sszcld  24093  reperflem  24094  cnperf  24096  divcn  24144  fsumcn  24146  expcn  24148  divccn  24149  cncfcn1  24187  cncfmptc  24188  cncfmptid  24189  cncfmpt2f  24191  cdivcncf  24197  abscncfALT  24200  cncfcnvcn  24201  cnmptre  24203  iirevcn  24206  iihalf1cn  24208  iihalf2cn  24210  iimulcn  24214  icchmeo  24217  cnrehmeo  24229  cnheiborlem  24230  cnheibor  24231  cnllycmp  24232  evth  24235  evth2  24236  lebnumlem2  24238  reparphti  24273  pcoass  24300  mbfimaopnlem  24932  limcvallem  25148  ellimc2  25154  limcnlp  25155  limcflflem  25157  limcflf  25158  limcmo  25159  limcres  25163  cnplimc  25164  cnlimc  25165  limccnp  25168  limccnp2  25169  dvbss  25178  perfdvf  25180  recnperf  25182  dvreslem  25186  dvres2lem  25187  dvres3a  25191  dvidlem  25192  dvcnp2  25197  dvcn  25198  dvnres  25208  dvaddbr  25215  dvmulbr  25216  dvcmulf  25222  dvcobr  25223  dvcjbr  25226  dvrec  25232  dvmptid  25234  dvmptc  25235  dvmptres2  25239  dvmptcmul  25241  dvmptntr  25248  dvmptfsum  25252  dvcnvlem  25253  dvcnv  25254  dvexp3  25255  dveflem  25256  dvlipcn  25271  lhop1lem  25290  lhop2  25292  lhop  25293  dvcnvrelem2  25295  dvcnvre  25296  ftc1lem3  25315  ftc1cn  25320  plycn  25535  dvply1  25557  dvtaylp  25642  taylthlem1  25645  taylthlem2  25646  ulmdvlem3  25674  psercn2  25695  psercn  25698  pserdvlem2  25700  pserdv  25701  abelth  25713  pige3ALT  25789  logcn  25915  dvloglem  25916  dvlog  25919  dvlog2  25921  efopnlem2  25925  efopn  25926  logtayl  25928  dvcxp1  26006  cxpcn  26011  cxpcn2  26012  cxpcn3  26014  resqrtcn  26015  sqrtcn  26016  loglesqrt  26024  atansopn  26195  dvatan  26198  xrlimcnp  26231  efrlim  26232  lgamucov  26300  ftalem3  26337  vmcn  29418  dipcn  29439  ipasslem7  29555  ipasslem8  29556  occllem  30022  nlelchi  30780  tpr2rico  32227  rmulccn  32243  raddcn  32244  cxpcncf1  32942  cvxpconn  33570  cvxsconn  33571  cnllysconn  33573  sinccvglem  33996  ivthALT  34666  knoppcnlem10  34824  knoppcnlem11  34825  broucube  35971  dvtanlem  35986  dvtan  35987  ftc1cnnc  36009  dvasin  36021  dvacos  36022  dvreasin  36023  dvreacos  36024  areacirclem1  36025  areacirclem2  36026  areacirclem4  36028  refsumcn  42950  fprodcnlem  43532  fprodcn  43533  fsumcncf  43811  ioccncflimc  43818  cncfuni  43819  icocncflimc  43822  cncfdmsn  43823  cncfiooicclem1  43826  cxpcncf2  43832  fprodsub2cncf  43838  fprodadd2cncf  43839  dvmptconst  43848  dvmptidg  43850  dvresntr  43851  itgsubsticclem  43908  dirkercncflem2  44037  dirkercncflem4  44039  dirkercncf  44040  fourierdlem32  44072  fourierdlem33  44073  fourierdlem62  44101  fourierdlem93  44132  fourierdlem101  44140