Theorem cnfldtopon 23394

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 23389	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 20552	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 21545	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 232	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  ℂcc 10538  TopOpenctopn 16698  ℂ_fldccnfld 20548  TopOnctopon 21521  TopSpctps 21543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-rest 16699  df-topn 16700  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-xms 22933  df-ms 22934

This theorem is referenced by:  cnfldtop  23395  unicntop  23397  sszcld  23428  reperflem  23429  cnperf  23431  divcn  23479  fsumcn  23481  expcn  23483  divccn  23484  cncfcn1  23521  cncfmptc  23522  cncfmptid  23523  cncfmpt2f  23525  cdivcncf  23528  abscncfALT  23531  cncfcnvcn  23532  cnmptre  23534  iirevcn  23537  iihalf1cn  23539  iihalf2cn  23541  iimulcn  23545  icchmeo  23548  cnrehmeo  23560  cnheiborlem  23561  cnheibor  23562  cnllycmp  23563  evth  23566  evth2  23567  lebnumlem2  23569  reparphti  23604  pcoass  23631  mbfimaopnlem  24259  limcvallem  24472  ellimc2  24478  limcnlp  24479  limcflflem  24481  limcflf  24482  limcmo  24483  limcres  24487  cnplimc  24488  cnlimc  24489  limccnp  24492  limccnp2  24493  dvbss  24502  perfdvf  24504  recnperf  24506  dvreslem  24510  dvres2lem  24511  dvres3a  24515  dvidlem  24516  dvcnp2  24520  dvcn  24521  dvnres  24531  dvaddbr  24538  dvmulbr  24539  dvcmulf  24545  dvcobr  24546  dvcjbr  24549  dvrec  24555  dvmptid  24557  dvmptc  24558  dvmptres2  24562  dvmptcmul  24564  dvmptntr  24571  dvmptfsum  24575  dvcnvlem  24576  dvcnv  24577  dvexp3  24578  dveflem  24579  dvlipcn  24594  lhop1lem  24613  lhop2  24615  lhop  24616  dvcnvrelem2  24618  dvcnvre  24619  ftc1lem3  24638  ftc1cn  24643  plycn  24854  dvply1  24876  dvtaylp  24961  taylthlem1  24964  taylthlem2  24965  ulmdvlem3  24993  psercn2  25014  psercn  25017  pserdvlem2  25019  pserdv  25020  abelth  25032  pige3ALT  25108  logcn  25233  dvloglem  25234  dvlog  25237  dvlog2  25239  efopnlem2  25243  efopn  25244  logtayl  25246  dvcxp1  25324  cxpcn  25329  cxpcn2  25330  cxpcn3  25332  resqrtcn  25333  sqrtcn  25334  loglesqrt  25342  atansopn  25513  dvatan  25516  xrlimcnp  25549  efrlim  25550  lgamucov  25618  ftalem3  25655  vmcn  28479  dipcn  28500  ipasslem7  28616  ipasslem8  28617  occllem  29083  nlelchi  29841  tpr2rico  31159  rmulccn  31175  raddcn  31176  cxpcncf1  31870  cvxpconn  32493  cvxsconn  32494  cnllysconn  32496  sinccvglem  32919  ivthALT  33687  knoppcnlem10  33845  knoppcnlem11  33846  broucube  34930  dvtanlem  34945  dvtan  34946  ftc1cnnc  34970  dvasin  34982  dvacos  34983  dvreasin  34984  dvreacos  34985  areacirclem1  34986  areacirclem2  34987  areacirclem4  34989  refsumcn  41293  fprodcnlem  41886  fprodcn  41887  fsumcncf  42167  ioccncflimc  42174  cncfuni  42175  icocncflimc  42178  cncfdmsn  42179  cncfiooicclem1  42182  cxpcncf2  42189  fprodsub2cncf  42195  fprodadd2cncf  42196  dvmptconst  42205  dvmptidg  42207  dvresntr  42208  itgsubsticclem  42266  dirkercncflem2  42396  dirkercncflem4  42398  dirkercncf  42399  fourierdlem32  42431  fourierdlem33  42432  fourierdlem62  42460  fourierdlem93  42491  fourierdlem101  42499