Theorem cnfldtopon 23388

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 23383	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 20095	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 21539	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 233	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091  TopOnctopon 21515  TopSpctps 21537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-xms 22927  df-ms 22928

This theorem is referenced by:  cnfldtop  23389  unicntop  23391  sszcld  23422  reperflem  23423  cnperf  23425  divcn  23473  fsumcn  23475  expcn  23477  divccn  23478  cncfcn1  23516  cncfmptc  23517  cncfmptid  23518  cncfmpt2f  23520  cdivcncf  23526  abscncfALT  23529  cncfcnvcn  23530  cnmptre  23532  iirevcn  23535  iihalf1cn  23537  iihalf2cn  23539  iimulcn  23543  icchmeo  23546  cnrehmeo  23558  cnheiborlem  23559  cnheibor  23560  cnllycmp  23561  evth  23564  evth2  23565  lebnumlem2  23567  reparphti  23602  pcoass  23629  mbfimaopnlem  24259  limcvallem  24474  ellimc2  24480  limcnlp  24481  limcflflem  24483  limcflf  24484  limcmo  24485  limcres  24489  cnplimc  24490  cnlimc  24491  limccnp  24494  limccnp2  24495  dvbss  24504  perfdvf  24506  recnperf  24508  dvreslem  24512  dvres2lem  24513  dvres3a  24517  dvidlem  24518  dvcnp2  24523  dvcn  24524  dvnres  24534  dvaddbr  24541  dvmulbr  24542  dvcmulf  24548  dvcobr  24549  dvcjbr  24552  dvrec  24558  dvmptid  24560  dvmptc  24561  dvmptres2  24565  dvmptcmul  24567  dvmptntr  24574  dvmptfsum  24578  dvcnvlem  24579  dvcnv  24580  dvexp3  24581  dveflem  24582  dvlipcn  24597  lhop1lem  24616  lhop2  24618  lhop  24619  dvcnvrelem2  24621  dvcnvre  24622  ftc1lem3  24641  ftc1cn  24646  plycn  24858  dvply1  24880  dvtaylp  24965  taylthlem1  24968  taylthlem2  24969  ulmdvlem3  24997  psercn2  25018  psercn  25021  pserdvlem2  25023  pserdv  25024  abelth  25036  pige3ALT  25112  logcn  25238  dvloglem  25239  dvlog  25242  dvlog2  25244  efopnlem2  25248  efopn  25249  logtayl  25251  dvcxp1  25329  cxpcn  25334  cxpcn2  25335  cxpcn3  25337  resqrtcn  25338  sqrtcn  25339  loglesqrt  25347  atansopn  25518  dvatan  25521  xrlimcnp  25554  efrlim  25555  lgamucov  25623  ftalem3  25660  vmcn  28482  dipcn  28503  ipasslem7  28619  ipasslem8  28620  occllem  29086  nlelchi  29844  tpr2rico  31265  rmulccn  31281  raddcn  31282  cxpcncf1  31976  cvxpconn  32602  cvxsconn  32603  cnllysconn  32605  sinccvglem  33028  ivthALT  33796  knoppcnlem10  33954  knoppcnlem11  33955  broucube  35091  dvtanlem  35106  dvtan  35107  ftc1cnnc  35129  dvasin  35141  dvacos  35142  dvreasin  35143  dvreacos  35144  areacirclem1  35145  areacirclem2  35146  areacirclem4  35148  refsumcn  41659  fprodcnlem  42241  fprodcn  42242  fsumcncf  42520  ioccncflimc  42527  cncfuni  42528  icocncflimc  42531  cncfdmsn  42532  cncfiooicclem1  42535  cxpcncf2  42541  fprodsub2cncf  42547  fprodadd2cncf  42548  dvmptconst  42557  dvmptidg  42559  dvresntr  42560  itgsubsticclem  42617  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem4  42748  dirkercncf  42749  fourierdlem32  42781  fourierdlem33  42782  fourierdlem62  42810  fourierdlem93  42841  fourierdlem101  42849