Theorem cnfldtopon 24721

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 24716	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 21319	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 22872	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  TopOpenctopn 17435  ℂ_fldccnfld 21315  TopOnctopon 22848  TopSpctps 22870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-xms 24259  df-ms 24260

This theorem is referenced by:  cnfldtop  24722  unicntop  24724  sszcld  24757  reperflem  24758  cnperf  24760  divcnOLD  24808  divcn  24810  fsumcn  24812  expcn  24814  divccn  24815  expcnOLD  24816  divccnOLD  24817  cncfcn1  24855  cncfmptc  24856  cncfmptid  24857  cncfmpt2f  24859  cdivcncf  24865  abscncfALT  24869  cncfcnvcn  24870  cnmptre  24872  iirevcn  24875  iihalf1cn  24877  iihalf1cnOLD  24878  iihalf2cn  24880  iihalf2cnOLD  24881  iimulcn  24885  iimulcnOLD  24886  icchmeo  24889  icchmeoOLD  24890  cnrehmeo  24902  cnrehmeoOLD  24903  cnheiborlem  24904  cnheibor  24905  cnllycmp  24906  evth  24909  evth2  24910  lebnumlem2  24912  reparphti  24947  reparphtiOLD  24948  pcoass  24975  mulcncf  25398  mbfimaopnlem  25608  limcvallem  25824  ellimc2  25830  limcnlp  25831  limcflflem  25833  limcflf  25834  limcmo  25835  limcres  25839  cnplimc  25840  cnlimc  25841  limccnp  25844  limccnp2  25845  dvbss  25854  perfdvf  25856  recnperf  25858  dvreslem  25862  dvres2lem  25863  dvres3a  25867  dvidlem  25868  dvcnp2  25873  dvcnp2OLD  25874  dvcn  25875  dvnres  25885  dvaddbr  25892  dvmulbr  25893  dvmulbrOLD  25894  dvcmulf  25900  dvcobr  25901  dvcobrOLD  25902  dvcjbr  25905  dvrec  25911  dvmptid  25913  dvmptc  25914  dvmptres2  25918  dvmptcmul  25920  dvmptntr  25927  dvmptfsum  25931  dvcnvlem  25932  dvcnv  25933  dvexp3  25934  dveflem  25935  dvlipcn  25951  lhop1lem  25970  lhop2  25972  lhop  25973  dvcnvrelem2  25975  dvcnvre  25976  ftc1lem3  25997  ftc1cn  26002  plycn  26218  plycnOLD  26219  dvply1  26243  dvtaylp  26330  taylthlem1  26333  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  ulmdvlem3  26363  psercn2  26384  psercn2OLD  26385  psercn  26388  pserdvlem2  26390  pserdv  26391  abelth  26403  pige3ALT  26481  logcn  26608  dvloglem  26609  dvlog  26612  dvlog2  26614  efopnlem2  26618  efopn  26619  logtayl  26621  dvcxp1  26701  cxpcn  26706  cxpcnOLD  26707  cxpcn2  26708  cxpcn3  26710  resqrtcn  26711  sqrtcn  26712  loglesqrt  26723  atansopn  26894  dvatan  26897  xrlimcnp  26930  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  lgamucov  27000  ftalem3  27037  vmcn  30680  dipcn  30701  ipasslem7  30817  ipasslem8  30818  occllem  31284  nlelchi  32042  tpr2rico  33943  rmulccn  33959  raddcn  33960  cxpcncf1  34627  cvxpconn  35264  cvxsconn  35265  cnllysconn  35267  sinccvglem  35694  ivthALT  36353  knoppcnlem10  36520  knoppcnlem11  36521  broucube  37678  dvtan  37694  ftc1cnnc  37716  dvasin  37728  dvacos  37729  dvreasin  37730  dvreacos  37731  areacirclem1  37732  areacirclem2  37733  areacirclem4  37735  refsumcn  45054  fprodcnlem  45628  fprodcn  45629  fsumcncf  45907  ioccncflimc  45914  cncfuni  45915  icocncflimc  45918  cncfdmsn  45919  cncfiooicclem1  45922  cxpcncf2  45928  fprodsub2cncf  45934  fprodadd2cncf  45935  dvmptconst  45944  dvmptidg  45946  dvresntr  45947  itgsubsticclem  46004  dirkercncflem2  46133  dirkercncflem4  46135  dirkercncf  46136  fourierdlem32  46168  fourierdlem33  46169  fourierdlem62  46197  fourierdlem93  46228  fourierdlem101  46236