Theorem mapdsn3 42701

Description: Value of the map defined by df-mapd 42683 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdsn3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdsn3.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdsn3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdsn3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdsn3.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdsn3.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdsn3.p	⊢ 𝑃 = (LSpan‘𝐷)
mapdsn3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdsn3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdsn3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdsn3.e	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mapdsn3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑃‘{𝐺}))

Proof of Theorem mapdsn3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdsn3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdsn3.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdsn3.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdsn3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdsn3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdsn3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdsn3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8		mapdsn3.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		mapdsn3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdsn3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdsn3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdsn2 42700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
13		mapdsn3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		mapdsn3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LSpan‘𝐷)
15	1, 4, 9	dvhlvec 42167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
16		mapdsn3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	7, 8, 13, 14, 15, 16	ldual1dim 40224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘{𝐺}) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
18	12, 17	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑃‘{𝐺}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895  {csn 4583  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  LSpanclspn 21246  LFnlclfn 40115  LKerclk 40143  LDualcld 40181  HLchlt 40408  LHypclh 41042  DVecHcdvh 42136  ocHcoch 42405  mapdcmpd 42682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40034  df-lshyp 40035  df-lfl 40116  df-lkr 40144  df-ldual 40182  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-tgrp 41801  df-tendo 41813  df-edring 41815  df-dveca 42061  df-disoa 42087  df-dvech 42137  df-dib 42197  df-dic 42231  df-dih 42287  df-doch 42406  df-djh 42453  df-mapd 42683

This theorem is used by:  mapdhvmap  42827