Theorem mapdsn3 42272

Description: Value of the map defined by df-mapd 42254 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdsn3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdsn3.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdsn3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdsn3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdsn3.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdsn3.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdsn3.p	⊢ 𝑃 = (LSpan‘𝐷)
mapdsn3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdsn3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdsn3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdsn3.e	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mapdsn3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑃‘{𝐺}))

Proof of Theorem mapdsn3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdsn3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdsn3.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdsn3.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdsn3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdsn3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdsn3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdsn3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8		mapdsn3.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		mapdsn3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdsn3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdsn3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdsn2 42271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
13		mapdsn3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		mapdsn3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LSpan‘𝐷)
15	1, 4, 9	dvhlvec 41738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
16		mapdsn3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	7, 8, 13, 14, 15, 16	ldual1dim 39795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘{𝐺}) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
18	12, 17	eqtr4d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑃‘{𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ⊆ wss 3906  {csn 4584  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  LSpanclspn 21040  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714  LDualcld 39752  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  ocHcoch 41976  mapdcmpd 42253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-0g 17472  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-nzr 20565  df-rlreg 20746  df-domn 20747  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606  df-lfl 39687  df-lkr 39715  df-ldual 39753  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024  df-mapd 42254

This theorem is referenced by:  mapdhvmap  42398