MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2re 25684
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21fdmd 6745 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3 mbfmulc2re.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
43dmexd 7926 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
52, 4eqeltrrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 mbfmulc2re.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
81ffvelcdmda 7103 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9 fconstmpt 5746 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵))
111feqmptd 6976 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
125, 7, 8, 10, 11offval2 7718 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
137, 8remul2d 15267 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥))))
1413mpteq2dva 5241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
158recld 15234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
175, 7, 15, 10, 16offval2 7718 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
1814, 17eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
1911, 3eqeltrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
208ismbfcn2 25674 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
2119, 20mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
2221simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
2315fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):𝐴⟶ℝ)
2422, 6, 23mbfmulc2lem 25683 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
2518, 24eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
267, 8immul2d 15268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥))))
2726mpteq2dva 5241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
288imcld 15235 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
305, 7, 28, 10, 29offval2 7718 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
3127, 30eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
3221simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
3328fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):𝐴⟶ℝ)
3432, 6, 33mbfmulc2lem 25683 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
3531, 34eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
366recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837, 8mulcld 11282 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
3938ismbfcn2 25674 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)))
4025, 35, 39mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4112, 40eqeltrd 2840 1 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  {csn 4625  cmpt 5224   × cxp 5682  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  cc 11154  cr 11155   · cmul 11161  cre 15137  cim 15138  MblFncmbf 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655
This theorem is referenced by:  mbfneg  25686  mbfmulc2  25699  itgmulc2nclem2  37695  itgmulc2nc  37696  itgabsnc  37697
  Copyright terms: Public domain W3C validator