Theorem mbfmulc2re 25697

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2re	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2re.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		mbfmulc2re.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	3	dmexd 7926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		mbfmulc2re.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fconstmpt 5751	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11	1	feqmptd 6977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	5, 7, 8, 10, 11	offval2 7717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
13	7, 8	remul2d 15263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
14	13	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
15	8	recld 15230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
16		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5, 7, 15, 10, 16	offval2 7717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
18	14, 17	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
19	11, 3	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
20	8	ismbfcn2 25687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
22	21	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
23	15	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
24	22, 6, 23	mbfmulc2lem 25696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
25	18, 24	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
26	7, 8	immul2d 15264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
28	8	imcld 15231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
30	5, 7, 28, 10, 29	offval2 7717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
31	27, 30	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
32	21	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	28	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
34	32, 6, 33	mbfmulc2lem 25696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
35	31, 34	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
36	6	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37, 8	mulcld 11279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	38	ismbfcn2 25687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
40	25, 35, 39	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
41	12, 40	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  ℝcr 11152   · cmul 11158  ℜcre 15133  ℑcim 15134  MblFncmbf 25663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668

This theorem is referenced by:  mbfneg  25699  mbfmulc2  25712  itgmulc2nclem2  37674  itgmulc2nc  37675  itgabsnc  37676