Theorem mbfmulc2re 23755

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2re	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2re.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		mbfmulc2re.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	3	dmexd 7334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 2880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		mbfmulc2re.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1	ffvelrnda 6586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fconstmpt 5369	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11	1	feqmptd 6475	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	5, 7, 8, 10, 11	offval2 7149	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
13	7, 8	remul2d 14307	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
14	13	mpteq2dva 4938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
15	8	recld 14274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
16		eqidd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5, 7, 15, 10, 16	offval2 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
18	14, 17	eqtr4d 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
19	11, 3	eqeltrrd 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
20	8	ismbfcn2 23745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
21	19, 20	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
22	21	simpld 489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
23	15	fmpttd 6612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
24	22, 6, 23	mbfmulc2lem 23754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
25	18, 24	eqeltrd 2879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
26	7, 8	immul2d 14308	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
27	26	mpteq2dva 4938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
28	8	imcld 14275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
30	5, 7, 28, 10, 29	offval2 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
31	27, 30	eqtr4d 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
32	21	simprd 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	28	fmpttd 6612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
34	32, 6, 33	mbfmulc2lem 23754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
35	31, 34	eqeltrd 2879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
36	6	recnd 10358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37, 8	mulcld 10350	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	38	ismbfcn2 23745	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
40	25, 35, 39	mpbir2and 705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
41	12, 40	eqeltrd 2879	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3386  {csn 4369   ↦ cmpt 4923   × cxp 5311  dom cdm 5313  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879   ∘_𝑓 cof 7130  ℂcc 10223  ℝcr 10224   · cmul 10230  ℜcre 14177  ℑcim 14178  MblFncmbf 23721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xadd 12193  df-ioo 12427  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-clim 14559  df-sum 14757  df-xmet 20060  df-met 20061  df-ovol 23571  df-vol 23572  df-mbf 23726

This theorem is referenced by:  mbfneg  23757  mbfmulc2  23770  itgmulc2nclem2  33964  itgmulc2nc  33965  itgabsnc  33966