Theorem mbfmulc2re 25930

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2re	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2re.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		mbfmulc2re.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	3	dmexd 7898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		mbfmulc2re.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1	ffvelcdmda 7072	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fconstmpt 5709	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11	1	feqmptd 6941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	5, 7, 8, 10, 11	offval2 7696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
13	7, 8	remul2d 15361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
14	13	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
15	8	recld 15328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
16		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5, 7, 15, 10, 16	offval2 7696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
18	14, 17	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
19	11, 3	eqeltrrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
20	8	ismbfcn2 25920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
22	21	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
23	15	fmpttd 7103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
24	22, 6, 23	mbfmulc2lem 25929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
25	18, 24	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
26	7, 8	immul2d 15362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
28	8	imcld 15329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
30	5, 7, 28, 10, 29	offval2 7696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
31	27, 30	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
32	21	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	28	fmpttd 7103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
34	32, 6, 33	mbfmulc2lem 25929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
35	31, 34	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
36	6	recnd 11308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37, 8	mulcld 11300	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	38	ismbfcn2 25920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
40	25, 35, 39	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
41	12, 40	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4583   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  dom cdm 5647  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674  ℂcc 11169  ℝcr 11170   · cmul 11176  ℜcre 15231  ℑcim 15232  MblFncmbf 25896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xadd 13211  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-xmet 21632  df-met 21633  df-ovol 25746  df-vol 25747  df-mbf 25901

This theorem is used by:  mbfneg  25932  mbfmulc2  25945  itgmulc2nclem2  38525  itgmulc2nc  38526  itgabsnc  38527