MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2re 25593
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21fdmd 6727 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3 mbfmulc2re.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
43dmexd 7907 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
52, 4eqeltrrd 2826 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6 mbfmulc2re.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
81ffvelcdmda 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9 fconstmpt 5734 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
111feqmptd 6961 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
125, 7, 8, 10, 11offval2 7701 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
137, 8remul2d 15204 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
1413mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
158recld 15171 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16 eqidd 2726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
175, 7, 15, 10, 16offval2 7701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
1814, 17eqtr4d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
1911, 3eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
208ismbfcn2 25583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
2119, 20mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
2221simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
2315fmpttd 7119 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))):π΄βŸΆβ„)
2422, 6, 23mbfmulc2lem 25592 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
2518, 24eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
267, 8immul2d 15205 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2726mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
288imcld 15172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
305, 7, 28, 10, 29offval2 7701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3127, 30eqtr4d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3221simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
3328fmpttd 7119 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))):π΄βŸΆβ„)
3432, 6, 33mbfmulc2lem 25592 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
3531, 34eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
366recnd 11270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3837, 8mulcld 11262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3938ismbfcn2 25583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)))
4025, 35, 39mpbir2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
4112, 40eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679  β„‚cc 11134  β„cr 11135   Β· cmul 11141  β„œcre 15074  β„‘cim 15075  MblFncmbf 25559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-xmet 21274  df-met 21275  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564
This theorem is referenced by:  mbfneg  25595  mbfmulc2  25608  itgmulc2nclem2  37216  itgmulc2nc  37217  itgabsnc  37218
  Copyright terms: Public domain W3C validator