MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2re 25532
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21fdmd 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3 mbfmulc2re.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
43dmexd 7893 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
52, 4eqeltrrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6 mbfmulc2re.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
81ffvelcdmda 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9 fconstmpt 5731 . . . 4 (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
111feqmptd 6954 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
125, 7, 8, 10, 11offval2 7687 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
137, 8remul2d 15180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
1413mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
158recld 15147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
175, 7, 15, 10, 16offval2 7687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
1814, 17eqtr4d 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
1911, 3eqeltrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
208ismbfcn2 25522 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
2119, 20mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
2221simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
2315fmpttd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))):π΄βŸΆβ„)
2422, 6, 23mbfmulc2lem 25531 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
2518, 24eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
267, 8immul2d 15181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2726mpteq2dva 5241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
288imcld 15148 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
305, 7, 28, 10, 29offval2 7687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3127, 30eqtr4d 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) = ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3221simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
3328fmpttd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))):π΄βŸΆβ„)
3432, 6, 33mbfmulc2lem 25531 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
3531, 34eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
366recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3736adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3837, 8mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3938ismbfcn2 25522 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)))
4025, 35, 39mpbir2and 710 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
4112, 40eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {𝐡}) ∘f Β· 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111   Β· cmul 11117  β„œcre 15050  β„‘cim 15051  MblFncmbf 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503
This theorem is referenced by:  mbfneg  25534  mbfmulc2  25547  itgmulc2nclem2  37068  itgmulc2nc  37069  itgabsnc  37070
  Copyright terms: Public domain W3C validator