Theorem mbfmulc2re 25606

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2re	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2re.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		mbfmulc2re.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	3	dmexd 7904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		mbfmulc2re.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fconstmpt 5721	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11	1	feqmptd 6952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	5, 7, 8, 10, 11	offval2 7696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
13	7, 8	remul2d 15251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
14	13	mpteq2dva 5219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
15	8	recld 15218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
16		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5, 7, 15, 10, 16	offval2 7696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
18	14, 17	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
19	11, 3	eqeltrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
20	8	ismbfcn2 25596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
22	21	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
23	15	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
24	22, 6, 23	mbfmulc2lem 25605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
25	18, 24	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
26	7, 8	immul2d 15252	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
28	8	imcld 15219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
30	5, 7, 28, 10, 29	offval2 7696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
31	27, 30	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
32	21	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	28	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
34	32, 6, 33	mbfmulc2lem 25605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
35	31, 34	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
36	6	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37, 8	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	38	ismbfcn2 25596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
40	25, 35, 39	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
41	12, 40	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  ℂcc 11132  ℝcr 11133   · cmul 11139  ℜcre 15121  ℑcim 15122  MblFncmbf 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577

This theorem is referenced by:  mbfneg  25608  mbfmulc2  25621  itgmulc2nclem2  37716  itgmulc2nc  37717  itgabsnc  37718