Theorem mbfmulc2re 25712

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2re	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2re.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		mbfmulc2re.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	3	dmexd 7886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
5	2, 4	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		mbfmulc2re.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	1	ffvelcdmda 7067	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fconstmpt 5711	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11	1	feqmptd 6937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	5, 7, 8, 10, 11	offval2 7682	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
13	7, 8	remul2d 15256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
14	13	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
15	8	recld 15223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
16		eqidd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
17	5, 7, 15, 10, 16	offval2 7682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
18	14, 17	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))))
19	11, 3	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
20	8	ismbfcn2 25702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
21	19, 20	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
22	21	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
23	15	fmpttd 7098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
24	22, 6, 23	mbfmulc2lem 25711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
25	18, 24	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
26	7, 8	immul2d 15257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
28	8	imcld 15224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
30	5, 7, 28, 10, 29	offval2 7682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
31	27, 30	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))))
32	21	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	28	fmpttd 7098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):𝐴⟶ℝ)
34	32, 6, 33	mbfmulc2lem 25711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
35	31, 34	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)
36	6	recnd 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37, 8	mulcld 11204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	38	ismbfcn2 25702	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
40	25, 35, 39	mpbir2and 723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
41	12, 40	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  {csn 4584   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660  ℂcc 11073  ℝcr 11074   · cmul 11080  ℜcre 15126  ℑcim 15127  MblFncmbf 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xadd 13117  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-xmet 21419  df-met 21420  df-ovol 25528  df-vol 25529  df-mbf 25683

This theorem is referenced by:  mbfneg  25714  mbfmulc2  25727  itgmulc2nclem2  38191  itgmulc2nc  38192  itgabsnc  38193