Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnprodcl 43059
Description: The product used in the definition of the outer Lebesgue measure in R^n is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnprodcl.kph 𝑘𝜑
ovnprodcl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnprodcl.f (𝜑𝐹:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
ovnprodcl.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
ovnprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐹𝐼))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem ovnprodcl
StepHypRef Expression
1 ovnprodcl.kph . 2 𝑘𝜑
2 ovnprodcl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 ovnprodcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
4 ovnprodcl.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6841 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
6 elmapi 8420 . . 3 ((𝐹𝐼) ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) → (𝐹𝐼):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
81, 2, 7hoiprodcl 43052 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝐹𝐼))‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wnf 1785  wcel 2115   × cxp 5541  ccom 5547  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  m cmap 8398  Fincfn 8501  cr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  cn 11632  [,)cico 12735  cprod 15257  volcvol 24065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-prod 15258  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067
This theorem is referenced by:  ovnsupge0  43062
  Copyright terms: Public domain W3C validator