Theorem volicorescl 47118

Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval with real bounds, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
volicorescl	⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem volicorescl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13365	. . . . . . . . 9 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	reseq1i 5961	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ))
3		ressxr 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4		resmpo 7516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
5	3, 3, 4	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
6	2, 5	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7	6	rneqi 5914	. . . . . 6 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
8	7	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
9	8	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		xrex 12998	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
12	11	rabex 5296	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ V
13	10, 12	elrnmpo 7532	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14	9, 13	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
15		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
16	3	sseli 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
18	3	sseli 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20		icoval 13397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21	17, 19, 20	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
23	22	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
24	15, 23	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
25	24	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
26	25	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
27	26	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
28	27	reximdva 3176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
29	14, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
30		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
31	30	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
32		volicorecl 47111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
34	31, 33	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
35	34	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
37	36	rexlimdvv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
38	29, 37	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
39	38	2a1d 26	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
40	39	rexlimdvv 3219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
41	29, 40	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  {crab 3415   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101   × cxp 5646  ran crn 5649   ↾ cres 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ℝcr 11083  ℝ^*cxr 11226   < clt 11227   ≤ cle 11228  [,)cico 13361  volcvol 25532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-rest 17461  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-top 22961  df-topon 22978  df-bases 23013  df-cmp 23454  df-ovol 25533  df-vol 25534

This theorem is referenced by: (None)