Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volicorescl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volicorescl 44784
Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval with real bounds, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
volicorescl (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem volicorescl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 13270 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21reseq1i 5933 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ))
3 ressxr 11199 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
4 resmpo 7476 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
53, 3, 4mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
62, 5eqtri 2764 . . . . . . 7 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
76rneqi 5892 . . . . . 6 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
87eleq2i 2829 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
98biimpi 215 . . . 4 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
10 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 xrex 12912 . . . . . 6 * ∈ V
1211rabex 5289 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ V
1310, 12elrnmpo 7492 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
149, 13sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
163sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
183sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20 icoval 13302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2221eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
2415, 23eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
2524ex 413 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2625adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2726reximdva 3165 . . . 4 ((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2827reximdva 3165 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2914, 28mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
32 volicorecl 44777 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
3431, 33eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3534ex 413 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
3736rexlimdvv 3204 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
3829, 37mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
39382a1d 26 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
4039rexlimdvv 3204 . 2 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
4129, 40mpd 15 1 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cr 11050  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  [,)cico 13266  volcvol 24827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator