Theorem volicorescl 47639

Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval with real bounds, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
volicorescl	⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem volicorescl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	reseq1i 5965	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ))
3		ressxr 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4		resmpo 7540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
5	3, 3, 4	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
6	2, 5	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7	6	rneqi 5918	. . . . . 6 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
8	7	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
9	8	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}))
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		xrex 13116	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
12	11	rabex 5299	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ V
13	10, 12	elrnmpo 7556	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14	9, 13	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
15		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
16	3	sseli 3904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
18	3	sseli 3904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20		icoval 13515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
21	17, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22	21	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
24	15, 23	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
25	24	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
26	25	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
27	26	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
28	27	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
29	14, 28	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
30		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
32		volicorecl 47632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
34	31, 33	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
35	34	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
37	36	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
38	29, 37	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
39	38	2a1d 27	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
40	39	rexlimdvv 3218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
41	29, 40	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ran crn 5651   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℝcr 11200  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345  [,)cico 13479  volcvol 25785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-rest 17594  df-topgen 17615  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-top 23213  df-topon 23230  df-bases 23265  df-cmp 23706  df-ovol 25786  df-vol 25787

This theorem is used by: (None)