Theorem hoiprodcl2 41562

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl2.l	⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
hoiprodcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝑋,𝑘   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodcl2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
2		coeq2 5512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ 𝐼))
3	2	fveq1d 6434	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘))
4	3	fveq2d 6436	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
5	4	ralrimivw 3175	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
6	5	prodeq2d 15024	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
7		hoiprodcl2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8		reex 10342	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
9	8, 8	xpex 7222	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
11		hoiprodcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	10, 11	jca 509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
13		elmapg 8134	. . . . 5 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
15	7, 14	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋))
16		hoiprodcl2.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
17	16, 11, 7	hoiprodcl 41554	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
18	1, 6, 15, 17	fvmptd3 6549	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
19	18, 17	eqeltrd 2905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413   ↦ cmpt 4951   × cxp 5339   ∘ ccom 5345  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↑_𝑚 cmap 8121  Fincfn 8221  ℝcr 10250  0cc0 10251  +∞cpnf 10387  [,)cico 12464  ∏cprod 15007  volcvol 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-prod 15008  df-rest 16435  df-topgen 16456  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-top 21068  df-topon 21085  df-bases 21120  df-cmp 21560  df-ovol 23629  df-vol 23630

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  41565  ovnsubaddlem1  41577