Theorem hoiprodcl2 43194

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl2.l	⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
hoiprodcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝑋,𝑘   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodcl2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
2		coeq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ 𝐼))
3	2	fveq1d 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘))
4	3	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
5	4	ralrimivw 3150	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
6	5	prodeq2d 15268	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
7		hoiprodcl2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8		reex 10617	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
9	8, 8	xpex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
11		hoiprodcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	10, 11	jca 515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
13		elmapg 8402	. . . . 5 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
15	7, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
16		hoiprodcl2.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
17	16, 11, 7	hoiprodcl 43186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
18	1, 6, 15, 17	fvmptd3 6768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
19	18, 17	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,)cico 12728  ∏cprod 15251  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  43197  ovnsubaddlem1  43209