Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl2 42981
 Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl2.kph 𝑘𝜑
hoiprodcl2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl2.l 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
hoiprodcl2.i (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl2 (𝜑 → (𝐿𝐼) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝑋,𝑘   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl2
StepHypRef Expression
1 hoiprodcl2.l . . 3 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
2 coeq2 5701 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ 𝐼))
32fveq1d 6644 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘))
43fveq2d 6646 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
54ralrimivw 3170 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
65prodeq2d 15252 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
7 hoiprodcl2.i . . . 4 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8 reex 10602 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
98, 8xpex 7450 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ∈ V
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
11 hoiprodcl2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
1210, 11jca 514 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
13 elmapg 8393 . . . . 5 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
157, 14mpbird 259 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
16 hoiprodcl2.kph . . . 4 𝑘𝜑
1716, 11, 7hoiprodcl 42973 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
181, 6, 15, 17fvmptd3 6763 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
1918, 17eqeltrd 2911 1 (𝜑 → (𝐿𝐼) ∈ (0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  Vcvv 3470   ↦ cmpt 5118   × cxp 5525   ∘ ccom 5531  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   ↑m cmap 8380  Fincfn 8483  ℝcr 10510  0cc0 10511  +∞cpnf 10646  [,)cico 12715  ∏cprod 15235  volcvol 24042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fi 8849  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-dju 9304  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-xneg 12482  df-xadd 12483  df-xmul 12484  df-ioo 12717  df-ico 12719  df-icc 12720  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-fl 13142  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-rlim 14822  df-sum 15019  df-prod 15236  df-rest 16671  df-topgen 16692  df-psmet 20509  df-xmet 20510  df-met 20511  df-bl 20512  df-mopn 20513  df-top 21474  df-topon 21491  df-bases 21526  df-cmp 21967  df-ovol 24043  df-vol 24044 This theorem is referenced by:  ovnlecvr  42984  ovnsubaddlem1  42996
 Copyright terms: Public domain W3C validator