Theorem hoiprodcl2 46564

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl2.l	⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
hoiprodcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝑋,𝑘   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodcl2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
2		coeq2 5843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ 𝐼))
3	2	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘))
4	3	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
5	4	ralrimivw 3137	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
6	5	prodeq2d 15942	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
7		hoiprodcl2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8		reex 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
9	8, 8	xpex 7752	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
11		hoiprodcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	10, 11	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
13		elmapg 8858	. . . . 5 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
15	7, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
16		hoiprodcl2.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
17	16, 11, 7	hoiprodcl 46556	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
18	1, 6, 15, 17	fvmptd3 7014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
19	18, 17	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℝcr 11133  0cc0 11134  +∞cpnf 11271  [,)cico 13369  ∏cprod 15924  volcvol 25421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-prod 15925  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-ovol 25422  df-vol 25423

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46567  ovnsubaddlem1  46579