Theorem hoiprodcl2 47707

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl2.l	⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
hoiprodcl2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝑋,𝑘   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐿(𝑖, 𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodcl2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑖 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)))
2		coeq2 5841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ([,) ∘ 𝑖) = ([,) ∘ 𝐼))
3	2	fveq1d 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (([,) ∘ 𝑖)‘𝑘) = (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘))
4	3	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
5	4	ralrimivw 3162	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
6	5	prodeq2d 16104	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝑖)‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
7		hoiprodcl2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8		reex 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
9	8, 8	xpex 7777	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ) ∈ V)
11		hoiprodcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
12	10, 11	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
13		elmapg 8873	. . . . 5 ⊢ (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↔ 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
15	7, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
16		hoiprodcl2.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
17	16, 11, 7	hoiprodcl 47699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
18	1, 6, 15, 17	fvmptd3 7028	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
19	18, 17	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐼) ∈ (0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861  Fincfn 8987  ℝcr 11212  0cc0 11213  +∞cpnf 11353  [,)cico 13491  ∏cprod 16087  volcvol 25799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-prod 16088  df-rest 17608  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-cmp 23720  df-ovol 25800  df-vol 25801

This theorem is used by:  ovnlecvr  47710  ovnsubaddlem1  47722