Theorem prlngmolem1 29430

Description: Lemma for prlngmo 29432: Contradiction: Assuming two different parallels 𝐵 and 𝐶 having a common point 𝑋 exist to a line 𝐴, the geometry cannot be Euclidean (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlngeu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeu.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngeu.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
prlngmolem1.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐵)) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngmolem1.q	⊢ 𝑄 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
prlngmolem1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
prlngmolem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
prlngmolem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
prlngmolem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlngmolem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
prlngmolem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlngmolem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
prlngmolem1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
prlngmolem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝐶 ∖ 𝐵))
prlngmolem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
prlngmolem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑇)

Assertion

Ref	Expression
prlngmolem1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)

Distinct variable groups:   ∥ ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐿,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑤,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑤   𝐺,𝑎,𝑏,𝑤,𝑦   𝐼,𝑎,𝑏,𝑤,𝑦   𝐿,𝑎,𝑤   𝑃,𝑎,𝑏,𝑤,𝑦   𝑄,𝑎,𝑏,𝑤   𝑤,𝑇,𝑦   𝑤,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋   𝜑,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦, 𝑤, 𝑎, 𝑏)   ∥ (𝑦, 𝑤, 𝑎)   𝑄(𝑦)   𝑇(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑦)   𝑂(𝑦, 𝑤, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑦, 𝑎)

Proof of Theorem prlngmolem1

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlngeu.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		prlngmolem1.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		prlngeu.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlngeu.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		prlngeu.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9	8	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10	9	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
12		prlngmolem1.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑄 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13		prlngeu.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
14	13	eldifad 4051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
15	14	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑋 ∈ 𝑃)
16	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	16	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
19		prlngeu.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
20		prlngmolem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
21	20	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
22	21	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
23		prlngmolem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	13	eldifbd 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
25		nelne1 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
27	26	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
28	27	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30		prlngmolem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
31	30	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
32		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝐵)
33	1, 3, 2, 5, 31, 32	tglnpt 29012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑃)
34	33	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
35	34	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
36		prlngmolem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐶)
37		prlngmolem1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
38		nelne1 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
39	37, 24, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
40	39	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
41	3, 19, 4, 36, 40	prlngin0 29422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
42	41	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
43		prlngmolem1.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
44	43	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑇 ∈ 𝐴)
45	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46		prlngmolem1.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
47		prlngmolem1.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝐶 ∖ 𝐵))
48	47	eldifad 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)
49	1, 3, 2, 4, 46, 48	tglnpt 29012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
50	49	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑊 ∈ 𝑃)
51	50	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑊 ∈ 𝑃)
52	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 ∈ 𝑃)
53	1, 3, 2, 4, 8, 43	tglnpt 29012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
54	53	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑇 ∈ 𝑃)
55	54	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑇 ∈ 𝑃)
56	47	eldifbd 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ 𝐵)
57		nelne2 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≠ 𝑊)
58	23, 56, 57	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
59	58	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
60	59	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑊 ≠ 𝑋)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 = 𝑦)
62		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇))
63	62	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇))
64	61, 63	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑇))
65	1, 2, 3, 45, 51, 52, 55, 60, 64	btwnlng3 29089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑋))
66	1, 2, 3, 4, 49, 14, 59, 59, 46, 48, 37	tglinethru 29104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑋))
67	66	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑋))
68	65, 67	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑇 ∈ 𝐶)
69	44, 68	elind 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → 𝑇 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
70	69	ne0d 4287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
71	70	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 = 𝑦) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
72	42, 71	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
73	72	neqned 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
74	73	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
75		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟))
76	1, 2, 3, 7, 17, 35, 11, 74, 75	btwnlng3 29089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
77	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
78	23	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
79	32	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
80	1, 2, 3, 6, 16, 34, 73, 73, 77, 78, 79	tglinethru 29104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑦))
81	80	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑦))
82	76, 81	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
83	78	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
84	3, 18, 19, 7, 22, 29, 82, 83	prlnghpg 29424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
85		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
86	36	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐴 ∥ 𝐶)
87	86	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐴 ∥ 𝐶)
88	40	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
89	88	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
90	37	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
91	90	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
92		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
93	92	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
94	93	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
95		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ≠ 𝑣)
96	95	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋 ≠ 𝑣)
97		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠))
98	1, 2, 3, 7, 17, 94, 85, 96, 97	btwnlng3 29089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑋𝐿𝑣))
99	46	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
100	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
102	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
103	92	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
104	59	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑊 ≠ 𝑋)
105		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣))
106	105	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣))
107	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 106	btwnlng3 29089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝑊𝐿𝑋))
108	66	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑋))
109	107, 108	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐶)
110	109	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑣 ∈ 𝐶)
111	1, 2, 3, 6, 16, 93, 95, 95, 99, 90, 110	tglinethru 29104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐶 = (𝑋𝐿𝑣))
112	111	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝐶 = (𝑋𝐿𝑣))
113	98, 112	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ 𝐶)
114	3, 18, 19, 7, 87, 89, 91, 113	prlnghpg 29424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑠)
115	1, 2, 3, 7, 10, 11, 12, 17, 84, 85, 114	hpgtr 29246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑠)
116	115	3anasss 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠))) → 𝑟((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑠)
117		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
118	43	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
119	118	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
120	1, 2, 3, 12, 7, 10, 11, 17, 84	hpgne1 29239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)
121	3, 18, 19, 7, 87, 89, 113, 91	prlnghpg 29424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑠((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
122	1, 2, 3, 12, 7, 10, 85, 17, 121	hpgne1 29239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → ¬ 𝑠 ∈ 𝐴)
123		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠))
124	1, 117, 2, 12, 11, 85, 119, 120, 122, 123	islnoppd 29216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → 𝑟𝑄𝑠)
125	1, 2, 3, 12, 7, 10, 11, 85, 124	lnoppnhpg 29242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) → ¬ 𝑟((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑠)
126	125	3anasss 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠))) → ¬ 𝑟((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑠)
127	116, 126	pm2.65da 829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ¬ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
128	127	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑃 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃)) → ¬ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
129	128	ralrimivva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ∀𝑟 ∈ 𝑃 ∀𝑠 ∈ 𝑃 ¬ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
130		ralnex2 3142	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑃 ∀𝑠 ∈ 𝑃 ¬ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)) ↔ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝑃 ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
131	129, 130	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ ∃𝑟 ∈ 𝑃 ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
132		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝐺 ∈ TarskiGE)
133	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑋 ∈ 𝑃)
134	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝐺 ∈ TarskiG)
135	77	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
136	79	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑦 ∈ 𝐵)
137	1, 3, 2, 134, 135, 136	tglnpt 29012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑦 ∈ 𝑃)
138	93	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑣 ∈ 𝑃)
139		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
140	139	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑧 ∈ 𝑃)
141	54	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑇 ∈ 𝑃)
142		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇))
143		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣))
144	41	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
145	43	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑇 ∈ 𝐴)
146	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
147	101	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑊 ∈ 𝑃)
148	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑃)
149	54	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑇 ∈ 𝑃)
150	56	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑊 ∈ 𝐵)
151		nelne2 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ 𝑊)
152	79, 150, 151	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑦 ≠ 𝑊)
153	152	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑊 ≠ 𝑦)
154	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑊 ≠ 𝑦)
155	62	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇))
156	1, 2, 3, 146, 147, 148, 149, 154, 155	btwnlng3 29089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑦))
157	101	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
158	78, 150	elnelneq2d 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑋 = 𝑊)
159	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
160	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑊 ∈ 𝑃)
161	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑋 ∈ 𝑃)
162	106	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣))
163		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑊 = 𝑣)
164	163	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → (𝑊𝐼𝑊) = (𝑊𝐼𝑣))
165	162, 164	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑊))
166	1, 117, 2, 159, 160, 161, 165	axtgbtwnid 28928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑊 = 𝑋)
167	166	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑊 = 𝑣) → 𝑋 = 𝑊)
168	158, 167	mtand 828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑊 = 𝑣)
169	168	neqned 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑊 ≠ 𝑣)
170	48	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐶)
171	1, 2, 3, 6, 157, 93, 169, 169, 99, 170, 110	tglinethru 29104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑣))
172	171	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑣))
173		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑦 = 𝑣)
174	173	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑊𝐿𝑦) = (𝑊𝐿𝑣))
175	172, 174	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐶 = (𝑊𝐿𝑦))
176	156, 175	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑇 ∈ 𝐶)
177	145, 176	elind 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑇 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
178	177	ne0d 4287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
179	178	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑦 = 𝑣) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
180	144, 179	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑦 = 𝑣)
181	180	neqned 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑦 ≠ 𝑣)
182		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣))
183	1, 2, 3, 6, 34, 93, 139, 181, 182	btwnlng1 29087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑣))
184		prlngmolem1.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
185	184	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
186	185	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
187	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
188	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
189	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝑃)
190	95	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑋 ≠ 𝑣)
191	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
192	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
193	1, 2, 3, 187, 188, 191, 192	tgelrnln 29098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
194	1, 2, 3, 187, 188, 191, 192	tglinerflx1 29101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
195		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣))
196	181	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑦 ≠ 𝑣)
197	1, 2, 3, 187, 188, 191, 189, 192, 195, 196	lnrot2 29092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑣 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
198	1, 2, 3, 187, 188, 189, 190, 190, 193, 194, 197	tglinethru 29104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → (𝑋𝐿𝑦) = (𝑋𝐿𝑣))
199	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑦))
200	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝐶 = (𝑋𝐿𝑣))
201	198, 199, 200	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝐵 = 𝐶)
202	186, 201	mtand 828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣))
203		nelne2 3053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑦𝐿𝑣)) → 𝑧 ≠ 𝑋)
204	183, 202, 203	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑧 ≠ 𝑋)
205	204	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → 𝑋 ≠ 𝑧)
206	205	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → 𝑋 ≠ 𝑧)
207	1, 117, 2, 132, 133, 137, 138, 140, 141, 142, 143, 206	axtgeucl 28934	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ TarskiGE) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑟) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ 𝑇 ∈ (𝑟𝐼𝑠)))
208	131, 207	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)) → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)
209	208	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇))) → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)
210	1, 117, 2, 5, 50, 33, 54, 62	tgbtwncom 28951	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑇𝐼𝑊))
211	1, 117, 2, 5, 50, 15, 92, 105	tgbtwncom 28951	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → 𝑋 ∈ (𝑣𝐼𝑊))
212	1, 117, 2, 5, 54, 92, 50, 33, 15, 210, 211	axtgpasch 28929	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝑣) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑇)))
213	209, 212	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣) → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)
214	213	anasss 472	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣)) → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)
215	1	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
216	215	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
217	216, 14, 49, 58	nehash2 14619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
218	1, 117, 2, 4, 49, 14, 217	tgbtwndiff 28969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣))
219	218	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑊𝐼𝑣) ∧ 𝑋 ≠ 𝑣))
220	214, 219	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)) → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)
221		prlngmolem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑇)
222		prlngmolem1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐵)) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
223	1, 117, 2, 222, 49, 53	islnopp 29215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊𝑂𝑇 ↔ ((¬ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑇 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇))))
224	221, 223	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑇 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇)))
225	224	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ (𝑊𝐼𝑇))
226	220, 225	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ∈ TarskiGE)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  TarskiG_Ecstrkge 28894  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  hpGchpg 29235  hlGcplng 29251  parlnGcprlng 29414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkge 28913  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-plng 29252  df-prlng 29415

This theorem is used by:  prlngmolem2  29431