Theorem ring2idlqus1 21317

Description: If a non-unital ring has a (two-sided) ideal which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital, then the ring is also unital with a ring unity which can be constructed from the ring unity of the ideal and a representative of the ring unity of the quotient. (Contributed by AV, 17-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring2idlqus1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ring2idlqus1.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
ring2idlqus1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ring2idlqus1.a	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqus1	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

Proof of Theorem ring2idlqus1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
3	2	ancli 548	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝑅 ∈ Rng)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	6, 8, 9, 11, 12	rngringbdlem2 21305	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Rng)
16	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		simp2l 1201	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		ring2idlqus1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		ring2idlqus1.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
22	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
23		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))))
24		ring2idlqus1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
25		ring2idlqus1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )
27	15, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 22, 23, 24, 25, 26	rngqiprngu 21316	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ))
28	14, 27	jca 511	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221   /_s cqus 17469  -_gcsg 18911   ~_QG cqg 19098  Rngcrng 20133  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  2Idealc2idl 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-imas 17472  df-qus 17473  df-xps 17474  df-mgm 18608  df-mgmhm 18660  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-rnghm 20416  df-rngim 20417  df-subrng 20523  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21476