Theorem ring2idlqus1 21489

Description: If a non-unital ring has a (two-sided) ideal which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital, then the ring is also unital with a ring unity which can be constructed from the ring unity of the ideal and a representative of the ring unity of the quotient. (Contributed by AV, 17-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring2idlqus1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ring2idlqus1.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
ring2idlqus1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ring2idlqus1.a	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqus1	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

Proof of Theorem ring2idlqus1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
3	2	ancli 558	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
5		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝑅 ∈ Rng)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
10		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	6, 8, 9, 11, 12	rngringbdlem2 21477	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 13	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Rng)
16	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		simp2l 1218	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
18		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		ring2idlqus1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		ring2idlqus1.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
21		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
22	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
23		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))))
24		ring2idlqus1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
25		ring2idlqus1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
26		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )
27	15, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 22, 23, 24, 25, 26	rngqiprngu 21488	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ))
28	14, 27	jca 521	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  +_gcplusg 17328  ._rcmulr 17329   /_s cqus 17577  -_gcsg 19026   ~_QG cqg 19212  Rngcrng 20254  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  2Idealc2idl 21418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-prds 17518  df-imas 17580  df-qus 17581  df-xps 17582  df-mgm 18716  df-mgmhm 18772  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-nsg 19214  df-eqg 19215  df-ghm 19308  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-rnghm 20544  df-rngim 20545  df-subrng 20675  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-2idl 21419

This theorem is used by:  pzriprng1ALT  21676