Theorem ring2idlqus1 21329

Description: If a non-unital ring has a (two-sided) ideal which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital, then the ring is also unital with a ring unity which can be constructed from the ring unity of the ideal and a representative of the ring unity of the quotient. (Contributed by AV, 17-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring2idlqus1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ring2idlqus1.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
ring2idlqus1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ring2idlqus1.a	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqus1	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

Proof of Theorem ring2idlqus1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
3	2	ancli 548	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝑅 ∈ Rng)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	6, 8, 9, 11, 12	rngringbdlem2 21317	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑅 ∈ Rng)
16	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		simp2l 1200	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring)
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		ring2idlqus1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		ring2idlqus1.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐼))
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
22	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring)
23		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))))
24		ring2idlqus1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
25		ring2idlqus1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )
27	15, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 22, 23, 24, 25, 26	rngqiprngu 21328	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 ))
28	14, 27	jca 511	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ ((𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)) ∈ Ring) ∧ 𝑈 ∈ (1r‘(𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑈 − ( 1 · 𝑈)) + 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298   /_s cqus 17550  -_gcsg 18953   ~_QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  2Idealc2idl 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rnghm 20436  df-rngim 20437  df-subrng 20546  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21507